Номер 735, страница 158 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Площадь треугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 735, страница 158.

Условие 2023.

735. Найдите площадь равнобедренного треугольника, боковая сторона которого равна $b$, а угол при основании равен $\alpha$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны равны $b$, а углы при основании равны $\alpha$. Обозначим этот треугольник как $ABC$, где боковые стороны $AB = BC = b$, основание — $AC$, а углы при основании $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$.

Для нахождения площади треугольника можно использовать разные подходы. Рассмотрим два из них.

Способ 1: Использование формулы площади через две стороны и угол между ними.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}xy \sin\gamma$, где $x$ и $y$ — длины двух сторон, а $\gamma$ — угол между ними.

В нашем случае известны две боковые стороны $AB = b$ и $BC = b$. Найдем угол между ними, то есть угол при вершине $\angle ABC$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Следовательно, угол при вершине равен: $\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (\alpha + \alpha) = 180^\circ - 2\alpha$.

Теперь подставим известные значения в формулу площади: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} \cdot b \cdot b \cdot \sin(180^\circ - 2\alpha)$.

Применим тригонометрическую формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin x$. Тогда выражение для площади примет вид: $S = \frac{1}{2} b^2 \sin(2\alpha)$.

Способ 2: Использование формулы площади через основание и высоту.

Площадь треугольника также можно найти по классической формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой и биссектрисой. Она делит исходный треугольник на два равных прямоугольных треугольника $ABH$ и $CBH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CBH$. В нем гипотенуза $BC = b$, а острый угол $\angle BCH = \alpha$. Найдем катеты этого треугольника: высоту $BH$ и половину основания $HC$.

Высота $BH$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$: $BH = BC \cdot \sin(\alpha) = b \sin\alpha$.

Половина основания $HC$ является катетом, прилежащим к углу $\alpha$: $HC = BC \cdot \cos(\alpha) = b \cos\alpha$.

Так как $H$ — середина основания $AC$, то длина всего основания равна: $AC = 2 \cdot HC = 2b \cos\alpha$.

Теперь вычислим площадь треугольника $ABC$: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot (2b \cos\alpha) \cdot (b \sin\alpha) = b^2 \sin\alpha \cos\alpha$.

Используя формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, мы можем упростить полученное выражение: $S = b^2 \cdot \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2} = \frac{1}{2} b^2 \sin(2\alpha)$.

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: $S = \frac{1}{2} b^2 \sin(2\alpha)$.

Условие 2015-2022.

735. Найдите площадь равнобедренного треугольника, боковая сторона которого равна $b$, а угол при основании равен $\alpha$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).