Номер 733, страница 158 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Площадь треугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 733, страница 158.

Условие 2023.

733. Высота $BD$ треугольника $ABC$ делит его сторону $AC$ на отрезки $AD$ и $CD$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $BC = \sqrt{37}$ см, $\angle A = 30^\circ$, $CD = 5$ см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Поскольку $BD$ является высотой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $AC$, она образует два прямоугольных треугольника: $\triangle ADB$ и $\triangle CDB$, в которых $\angle BDA = \angle BDC = 90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CDB$. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $BD^2 + CD^2 = BC^2$.Из условия задачи известны длины гипотенузы $BC = \sqrt{37}$ см и катета $CD = 5$ см. Найдем длину высоты $BD$:$BD^2 = BC^2 - CD^2 = (\sqrt{37})^2 - 5^2 = 37 - 25 = 12$$BD = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ см.

Далее рассмотрим прямоугольный треугольник $ADB$. Нам известен катет $BD = 2\sqrt{3}$ см и противолежащий ему угол $\angle A = 30^\circ$. Для нахождения длины катета $AD$ воспользуемся определением тангенса угла:$\tan(\angle A) = \frac{BD}{AD}$Подставим известные значения. Учитывая, что $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$:$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{AD}$Выразим $AD$:$AD = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Теперь найдем длину основания $AC$ треугольника $ABC$, сложив длины отрезков $AD$ и $CD$:$AC = AD + CD = 6 + 5 = 11$ см.

Площадь треугольника $ABC$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В нашем случае:$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 2\sqrt{3} = 11\sqrt{3}$ см$^2$.
Ответ: $11\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Условие 2015-2022.

733. Высота $BD$ треугольника $ABC$ делит его сторону $AC$ на отрезки $AD$ и $CD$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $BC = \sqrt{37}$ см, $\angle A = 30^\circ$, $CD = 5$ см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).