Номер 740, страница 158 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Площадь треугольника. Глава 4. Многоугольники. Площадь многоугольника - номер 740, страница 158.

Условие 2023.

740. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит его гипотенузу на отрезки длиной 8 см и 12 см. Найдите площадь треугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$. В него вписана окружность, которая касается гипотенузы в некоторой точке.

По условию, эта точка касания делит гипотенузу на отрезки длиной 8 см и 12 см. Следовательно, длина гипотенузы $c$ равна их сумме:
$c = 8 \text{ см} + 12 \text{ см} = 20 \text{ см}$.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: отрезки касательных от вершины до точек касания равны. Пусть $r$ — радиус вписанной окружности. Для прямоугольного треугольника отрезки касательных от вершины прямого угла до точек касания равны радиусу $r$.
Таким образом, катеты треугольника можно выразить через $r$ и длины отрезков на гипотенузе:
$a = 12 + r$
$b = 8 + r$

Применим теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$ и подставим в нее полученные выражения:
$(12 + r)^2 + (8 + r)^2 = 20^2$

Решим это уравнение относительно $r$:
$144 + 24r + r^2 + 64 + 16r + r^2 = 400$
$2r^2 + 40r + 208 = 400$
$2r^2 + 40r - 192 = 0$
Разделив все члены на 2, получим приведенное квадратное уравнение:
$r^2 + 20r - 96 = 0$

Корни этого уравнения можно найти по теореме Виета. Произведение корней равно $-96$, а их сумма равна $-20$. Подбором находим корни: $r_1 = 4$ и $r_2 = -24$. Поскольку радиус не может быть отрицательным, принимаем $r = 4$ см.

Теперь найдем длины катетов, подставив значение радиуса:
$a = 12 + 4 = 16$ см
$b = 8 + 4 = 12$ см

Площадь $S$ прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 8 \cdot 12 = 96 \text{ см}^2$.

Примечание: Существует свойство, согласно которому площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин отрезков, на которые точка касания вписанной окружности делит гипотенузу. В нашем случае $S = 8 \cdot 12 = 96 \text{ см}^2$. Это свойство является следствием проведенных выше вычислений и позволяет решить задачу значительно быстрее.

Ответ: 96 см$^2$.

Условие 2015-2022.

740. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит его гипотенузу на отрезки длиной 8 см и 12 см. Найдите площадь треугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).