Номер 1130, страница 346 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 12. Элементы теории вероятностей. Параграф 67. Вероятность события - номер 1130, страница 346.

Условие.

1130 Среди 20 деталей, лежащих в ящике, 3 детали бракованные. Наугад вынимают 2 детали. Какова вероятность того, что:

1) обе детали оказались бракованными;

2) одна деталь бракованная, а другая нет;

3) обе детали не бракованные?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи используем классическое определение вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

В ящике находится 20 деталей, из которых 3 бракованные и $20 - 3 = 17$ небракованных (стандартных). Мы вынимаем 2 детали. Общее число способов выбрать 2 детали из 20 равно числу сочетаний из 20 по 2: $n = C_{20}^2 = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20!}{2! \cdot 18!} = \frac{19 \cdot 20}{2 \cdot 1} = 190$. Таким образом, общее число равновозможных исходов $n = 190$.

1) обе детали оказались бракованными

Найдем число исходов, благоприятствующих этому событию. Нам нужно выбрать 2 бракованные детали из 3 имеющихся. $m_1 = C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{2 \cdot 3}{2} = 3$. Вероятность того, что обе детали окажутся бракованными, равна: $P_1 = \frac{m_1}{n} = \frac{3}{190}$. Ответ: $\frac{3}{190}$

2) одна деталь бракованная, а другая нет

Для этого события нужно выбрать 1 бракованную деталь из 3 и 1 стандартную деталь из 17. Число способов сделать это равно произведению соответствующих сочетаний: $m_2 = C_3^1 \cdot C_{17}^1 = \frac{3!}{1!(3-1)!} \cdot \frac{17!}{1!(17-1)!} = 3 \cdot 17 = 51$. Вероятность этого события: $P_2 = \frac{m_2}{n} = \frac{51}{190}$. Ответ: $\frac{51}{190}$

3) обе детали не бракованные

Для этого события необходимо выбрать 2 стандартные детали из 17 имеющихся. $m_3 = C_{17}^2 = \frac{17!}{2!(17-2)!} = \frac{17!}{2! \cdot 15!} = \frac{16 \cdot 17}{2 \cdot 1} = 8 \cdot 17 = 136$. Вероятность того, что обе детали окажутся не бракованными: $P_3 = \frac{m_3}{n} = \frac{136}{190} = \frac{68}{95}$. Ответ: $\frac{68}{95}$

Проверка: Три рассмотренных случая (обе бракованные, одна бракованная, обе не бракованные) являются взаимоисключающими и исчерпывают все возможные исходы. Следовательно, сумма их вероятностей должна быть равна 1. $P_1 + P_2 + P_3 = \frac{3}{190} + \frac{51}{190} + \frac{136}{190} = \frac{3 + 51 + 136}{190} = \frac{190}{190} = 1$. Расчеты верны.