Номер 1134, страница 349 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 12. Элементы теории вероятностей. Параграф 68. Сложение вероятностей - номер 1134, страница 349.

Условие.

1134 Из колоды карт (36 листов) наугад вынимается одна карта. Какова вероятность того, что эта карта:

1) либо дама, либо валет;

2) либо шестёрка, либо туз;

3) либо семёрка треф, либо карта бубновой масти;

4) либо туз красной масти, либо карта трефовой масти? Решить задачу двумя способами.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

В задаче используется колода из 36 карт. Общее число равновозможных исходов при вынимании одной карты $n = 36$. Каждую подзадачу решим двумя способами, как того требует условие.

1) либо дама, либо валет

Способ 1. Прямой подсчёт благоприятных исходов. В колоде 4 дамы и 4 валета. События «вынута дама» и «вынут валет» являются несовместными, так как одна карта не может быть одновременно и дамой, и валетом. Общее число благоприятных исходов $m$ равно сумме числа дам и числа валетов: $m = 4 + 4 = 8$. Вероятность искомого события равна:$P = \frac{m}{n} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$.

Способ 2. Использование теоремы сложения вероятностей. Пусть событие $A$ — «вынута дама», а событие $B$ — «вынут валет». Вероятность события $A$ равна $P(A) = \frac{4}{36}$. Вероятность события $B$ равна $P(B) = \frac{4}{36}$. Поскольку события $A$ и $B$ несовместны, вероятность их объединения (то есть того, что будет вынута либо дама, либо валет) вычисляется по формуле сложения вероятностей для несовместных событий:$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{4}{36} + \frac{4}{36} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$.

Ответ: $\frac{2}{9}$.

2) либо шестёрка, либо туз

Способ 1. Прямой подсчёт благоприятных исходов. В колоде 4 шестёрки и 4 туза. Эти события несовместны. Число благоприятных исходов $m$ равно сумме количества шестёрок и тузов: $m = 4 + 4 = 8$. Вероятность события:$P = \frac{m}{n} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$.

Способ 2. Использование теоремы сложения вероятностей. Пусть событие $A$ — «вынута шестёрка», а событие $B$ — «вынут туз». Вероятность события $A$: $P(A) = \frac{4}{36}$. Вероятность события $B$: $P(B) = \frac{4}{36}$. События $A$ и $B$ несовместны, поэтому искомая вероятность равна сумме их вероятностей:$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{4}{36} + \frac{4}{36} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$.

Ответ: $\frac{2}{9}$.

3) либо семёрка треф, либо карта бубновой масти

Способ 1. Прямой подсчёт благоприятных исходов. В колоде есть только одна карта «семёрка треф» и 9 карт бубновой масти. События «вынута семёрка треф» и «вынута карта бубновой масти» несовместны, так как семёрка треф не относится к бубновой масти. Число благоприятных исходов $m$ равно: $m = 1 + 9 = 10$. Вероятность события:$P = \frac{m}{n} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$.

Способ 2. Использование теоремы сложения вероятностей. Пусть событие $A$ — «вынута семёрка треф», а событие $B$ — «вынута карта бубновой масти». Вероятность события $A$: $P(A) = \frac{1}{36}$. Вероятность события $B$: $P(B) = \frac{9}{36}$. Так как события $A$ и $B$ несовместны, искомая вероятность равна:$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{36} + \frac{9}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$.

Ответ: $\frac{5}{18}$.

4) либо туз красной масти, либо карта трефовой масти

Способ 1. Прямой подсчёт благоприятных исходов. Красные масти — это бубны и червы. В колоде два туза красной масти (туз бубен и туз червей). Карт трефовой масти в колоде 9. События «вынут туз красной масти» и «вынута карта трефовой масти» несовместны, так как трефы — это масть чёрного цвета. Число благоприятных исходов $m$ равно сумме: $m = 2 + 9 = 11$. Вероятность события:$P = \frac{m}{n} = \frac{11}{36}$.

Способ 2. Использование теоремы сложения вероятностей. Пусть событие $A$ — «вынут туз красной масти», а событие $B$ — «вынута карта трефовой масти». Вероятность вынуть туза красной масти (2 карты): $P(A) = \frac{2}{36}$. Вероятность вынуть карту трефовой масти (9 карт): $P(B) = \frac{9}{36}$. События $A$ и $B$ несовместны, поэтому искомая вероятность равна:$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{2}{36} + \frac{9}{36} = \frac{11}{36}$.

Ответ: $\frac{11}{36}$.