Номер 1141, страница 349 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 12. Элементы теории вероятностей. Параграф 68. Сложение вероятностей - номер 1141, страница 349.

Условие.

1141 В коробке лежат 5 белых и 7 чёрных шаров. Наугад вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что среди них окажется по крайней мере один:

1) белый шар;

2) чёрный шар.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

В коробке всего $5$ белых и $7$ чёрных шаров, что составляет $5 + 7 = 12$ шаров. Случайным образом вынимают 3 шара. Общее число способов выбрать 3 шара из 12 (общее число исходов) равно числу сочетаний из 12 по 3:

$N = C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 11 \cdot 10 = 220$.

Таким образом, существует 220 различных способов вынуть 3 шара из коробки.

1) белый шар

Найдём вероятность того, что среди вынутых 3 шаров окажется по крайней мере один белый шар. Проще вычислить вероятность противоположного события A' – "среди вынутых шаров нет ни одного белого", то есть все 3 шара являются чёрными.

Число способов выбрать 3 чёрных шара из 7 имеющихся (число благоприятных исходов для события A') равно:

$m_{A'} = C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$.

Вероятность события A' (вынуть 3 чёрных шара) равна:

$P(A') = \frac{m_{A'}}{N} = \frac{35}{220} = \frac{7}{44}$.

Событие "по крайней мере один белый шар" (A) и событие "все шары чёрные" (A') являются противоположными, поэтому сумма их вероятностей равна 1. Вероятность события A:

$P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{7}{44} = \frac{44}{44} - \frac{7}{44} = \frac{37}{44}$.

Ответ: $\frac{37}{44}$

2) чёрный шар

Найдём вероятность того, что среди вынутых 3 шаров окажется по крайней мере один чёрный шар. Аналогично, вычислим вероятность противоположного события B' – "среди вынутых шаров нет ни одного чёрного", то есть все 3 шара являются белыми.

Число способов выбрать 3 белых шара из 5 имеющихся (число благоприятных исходов для события B') равно:

$m_{B'} = C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.

Вероятность события B' (вынуть 3 белых шара) равна:

$P(B') = \frac{m_{B'}}{N} = \frac{10}{220} = \frac{1}{22}$.

Вероятность события B ("по крайней мере один чёрный шар") равна:

$P(B) = 1 - P(B') = 1 - \frac{1}{22} = \frac{22}{22} - \frac{1}{22} = \frac{21}{22}$.

Ответ: $\frac{21}{22}$