Номер 1145, страница 353 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 12. Элементы теории вероятностей. Параграф 69. Независимые события. Умножение вероятностей - номер 1145, страница 353.

Условие.

1145 Выяснить, являются ли события A и B независимыми, если:

1) $P(A) = \frac{2}{5}$, $P(B) = \frac{10}{13}$, $P(AB) = \frac{4}{13}$;

2) $P(A) = 0,75$, $P(B) = 0,2$, $P(AB) = 0,15$;

3) $P(A) = 0,3$, $P(B) = 0,2$, $P(AB) = 0,6$;

4) $P(A) = \frac{3}{14}$, $P(B) = \frac{7}{12}$, $P(AB) = \frac{1}{4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Два события $A$ и $B$ называются независимыми, если вероятность их совместного наступления (пересечения) равна произведению их индивидуальных вероятностей. То есть, если выполняется равенство: $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$. Проверим это условие для каждого случая.

1)

Дано: $P(A) = \frac{2}{5}$, $P(B) = \frac{10}{13}$, $P(AB) = \frac{4}{13}$.

Вычислим произведение вероятностей событий $A$ и $B$:

$P(A) \cdot P(B) = \frac{2}{5} \cdot \frac{10}{13} = \frac{2 \cdot 10}{5 \cdot 13} = \frac{20}{65}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$\frac{20 \div 5}{65 \div 5} = \frac{4}{13}$

Сравним полученное значение с данной вероятностью совместного наступления событий: $P(A) \cdot P(B) = \frac{4}{13}$ и $P(AB) = \frac{4}{13}$.

Так как $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$, события $A$ и $B$ являются независимыми.

Ответ: события являются независимыми.

2)

Дано: $P(A) = 0,75$, $P(B) = 0,2$, $P(AB) = 0,15$.

Вычислим произведение вероятностей событий $A$ и $B$:

$P(A) \cdot P(B) = 0,75 \cdot 0,2 = 0,15$

Сравним полученное значение с данной вероятностью совместного наступления событий: $P(A) \cdot P(B) = 0,15$ и $P(AB) = 0,15$.

Так как $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$, события $A$ и $B$ являются независимыми.

Ответ: события являются независимыми.

3)

Дано: $P(A) = 0,3$, $P(B) = 0,2$, $P(AB) = 0,6$.

Вычислим произведение вероятностей событий $A$ и $B$:

$P(A) \cdot P(B) = 0,3 \cdot 0,2 = 0,06$

Сравним полученное значение с данной вероятностью совместного наступления событий: $P(A) \cdot P(B) = 0,06$ и $P(AB) = 0,6$.

Так как $0,06 \neq 0,6$, то $P(AB) \neq P(A) \cdot P(B)$. Следовательно, события $A$ и $B$ не являются независимыми (являются зависимыми).

Ответ: события не являются независимыми.

4)

Дано: $P(A) = \frac{3}{14}$, $P(B) = \frac{7}{12}$, $P(AB) = \frac{1}{4}$.

Вычислим произведение вероятностей событий $A$ и $B$:

$P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{14} \cdot \frac{7}{12} = \frac{3 \cdot 7}{14 \cdot 12}$

Сократим множители перед перемножением: 3 и 12 на 3; 7 и 14 на 7.

$\frac{3}{14} \cdot \frac{7}{12} = \frac{^1\cancel{3}}{_2\cancel{14}} \cdot \frac{^1\cancel{7}}{_4\cancel{12}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$

Сравним полученное значение с данной вероятностью совместного наступления событий: $P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{8}$ и $P(AB) = \frac{1}{4}$.

Так как $\frac{1}{8} \neq \frac{1}{4}$, то $P(AB) \neq P(A) \cdot P(B)$. Следовательно, события $A$ и $B$ не являются независимыми (являются зависимыми).

Ответ: события не являются независимыми.