Номер 1150, страница 353 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 12. Элементы теории вероятностей. Параграф 69. Независимые события. Умножение вероятностей - номер 1150, страница 353.

Условие.

1150 В первой партии из 20 деталей 6 нестандартных, а во второй партии из 30 деталей 5 нестандартных. Наугад из каждой партии изымают по одной детали. Найти вероятность того, что:

1) обе детали оказались нестандартными;

2) обе детали оказались стандартными;

3) хотя бы одна деталь оказалась стандартной;

4) хотя бы одна деталь оказалась нестандартной.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи определим вероятности извлечения стандартной и нестандартной детали из каждой партии. Поскольку выборки из двух партий являются независимыми событиями, для нахождения вероятности совместного наступления событий мы можем перемножать их вероятности.

Для первой партии:
Всего деталей: 20, из них 6 нестандартных.
Количество стандартных деталей: $20 - 6 = 14$.
Вероятность извлечь нестандартную деталь: $P_{1н} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.
Вероятность извлечь стандартную деталь: $P_{1с} = \frac{14}{20} = \frac{7}{10}$.

Для второй партии:
Всего деталей: 30, из них 5 нестандартных.
Количество стандартных деталей: $30 - 5 = 25$.
Вероятность извлечь нестандартную деталь: $P_{2н} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$.
Вероятность извлечь стандартную деталь: $P_{2с} = \frac{25}{30} = \frac{5}{6}$.

1) обе детали оказались нестандартными
Это событие произойдет, если из первой партии извлекут нестандартную деталь и из второй партии извлекут нестандартную деталь. Вероятность этого равна произведению соответствующих вероятностей:
$P(\text{обе нестандартные}) = P_{1н} \times P_{2н} = \frac{3}{10} \times \frac{1}{6} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$.
Ответ: $\frac{1}{20}$

2) обе детали оказались стандартными
Это событие произойдет, если обе извлеченные детали будут стандартными. Вероятность этого равна произведению вероятностей извлечения стандартной детали из каждой партии:
$P(\text{обе стандартные}) = P_{1с} \times P_{2с} = \frac{7}{10} \times \frac{5}{6} = \frac{35}{60} = \frac{7}{12}$.
Ответ: $\frac{7}{12}$

3) хотя бы одна деталь оказалась стандартной
Это событие является противоположным событию "обе детали оказались нестандартными" (вероятность которого мы рассчитали в пункте 1). Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.
$P(\text{хотя бы одна стандартная}) = 1 - P(\text{обе нестандартные}) = 1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20}$.
Ответ: $\frac{19}{20}$

4) хотя бы одна деталь оказалась нестандартной
Это событие является противоположным событию "обе детали оказались стандартными" (вероятность которого мы рассчитали в пункте 2).
$P(\text{хотя бы одна нестандартная}) = 1 - P(\text{обе стандартные}) = 1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$.
Ответ: $\frac{5}{12}$