Номер 1151, страница 353 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 12. Элементы теории вероятностей. Параграф 69. Независимые события. Умножение вероятностей - номер 1151, страница 353.

Условие.

1151 В первой коробке находятся 7 белых и 3 чёрных шара, а во второй — 5 белых и 9 чёрных. Не глядя из каждой коробки вынимают по одному шару. Найти вероятность того, что:

1) оба вынутых шара белые;

2) оба вынутых шара чёрные;

3) хотя бы один шар белый;

4) хотя бы один шар чёрный.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи сначала определим общее количество шаров в каждой коробке и вероятности извлечения шара определенного цвета из каждой коробки.

В первой коробке: 7 белых и 3 чёрных шара. Всего $7 + 3 = 10$ шаров.

• Вероятность вынуть белый шар из первой коробки: $P(Б_1) = \frac{7}{10}$
• Вероятность вынуть чёрный шар из первой коробки: $P(Ч_1) = \frac{3}{10}$

Во второй коробке: 5 белых и 9 чёрных шаров. Всего $5 + 9 = 14$ шаров.

• Вероятность вынуть белый шар из второй коробки: $P(Б_2) = \frac{5}{14}$
• Вероятность вынуть чёрный шар из второй коробки: $P(Ч_2) = \frac{9}{14}$

События извлечения шара из первой и второй коробок являются независимыми. Поэтому для нахождения вероятности совместного наступления этих событий мы будем перемножать их вероятности.

1) оба вынутых шара белые

Это событие означает, что из первой коробки вынут белый шар и из второй коробки вынут белый шар. Вероятность этого события равна произведению вероятностей $P(Б_1)$ и $P(Б_2)$.

$P(\text{оба белые}) = P(Б_1) \times P(Б_2) = \frac{7}{10} \times \frac{5}{14} = \frac{35}{140}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{35}{140} = \frac{35 \div 35}{140 \div 35} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

2) оба вынутых шара чёрные

Это событие означает, что из первой коробки вынут чёрный шар и из второй коробки вынут чёрный шар. Вероятность этого события равна произведению вероятностей $P(Ч_1)$ и $P(Ч_2)$.

$P(\text{оба чёрные}) = P(Ч_1) \times P(Ч_2) = \frac{3}{10} \times \frac{9}{14} = \frac{27}{140}$

Эта дробь несократима.

Ответ: $\frac{27}{140}$

3) хотя бы один шар белый

Событие "хотя бы один шар белый" является противоположным событию "оба шара чёрные". Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Поэтому, чтобы найти искомую вероятность, нужно из 1 вычесть вероятность того, что оба шара окажутся чёрными (которую мы нашли в пункте 2).

$P(\text{хотя бы один белый}) = 1 - P(\text{оба чёрные})$

$P(\text{хотя бы один белый}) = 1 - \frac{27}{140} = \frac{140}{140} - \frac{27}{140} = \frac{113}{140}$

Ответ: $\frac{113}{140}$

4) хотя бы один шар чёрный

Аналогично пункту 3, событие "хотя бы один шар чёрный" является противоположным событию "оба шара белые". Чтобы найти искомую вероятность, нужно из 1 вычесть вероятность того, что оба шара окажутся белыми (которую мы нашли в пункте 1).

$P(\text{хотя бы один чёрный}) = 1 - P(\text{оба белые})$

$P(\text{хотя бы один чёрный}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$