Номер 1147, страница 353 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

1147 Бросаются две игральные кости и рассматриваются события:

1) A — на первой кости выпало число 6, B — на второй кости выпало чётное число;

2) A — на первой кости выпало нечётное число, B — на второй кости выпало число, кратное 3.

Убедиться с помощью формулы (1) в независимости событий A и B.

Для проверки независимости двух событий A и B используется формула (которую в задаче называют формулой (1)), гласящая, что события независимы, если вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. При броске двух игральных костей общее число равновозможных исходов равно $6 \times 6 = 36$.

1) A — на первой кости выпало число 6, B — на второй кости выпало чётное число

Сначала найдем вероятность события A (на первой кости выпало число 6). Благоприятными исходами для этого события являются все пары, где на первом месте стоит 6: (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6). Таких исходов 6. Следовательно, вероятность события A: $P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Теперь найдем вероятность события B (на второй кости выпало чётное число). Чётные числа на игральной кости — это 2, 4, 6. Всего 3 варианта. Для каждого из 6 возможных исходов на первой кости есть 3 благоприятных исхода на второй. Общее число благоприятных исходов для события B: $6 \times 3 = 18$. Вероятность события B: $P(B) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.

Далее найдем вероятность совместного наступления событий A и B, то есть события $A \cap B$ (на первой кости выпало 6, а на второй — чётное число). Благоприятными исходами будут пары (6, 2), (6, 4), (6, 6). Всего 3 исхода. Вероятность события $A \cap B$: $P(A \cap B) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.

Наконец, проверим выполнение условия независимости $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Вычислим произведение вероятностей: $P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$. Поскольку $P(A \cap B) = \frac{1}{12}$ и $P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{12}$, равенство выполняется. Это подтверждает, что события A и B являются независимыми.

Ответ: События A и B независимы.

2) A — на первой кости выпало нечётное число, B — на второй кости выпало число, кратное 3

Найдем вероятность события A (на первой кости выпало нечётное число). Нечётные числа на кости — 1, 3, 5. Всего 3 варианта. Общее число благоприятных исходов: $3 \times 6 = 18$. Вероятность события A: $P(A) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.

Найдем вероятность события B (на второй кости выпало число, кратное 3). Числа, кратные 3, на кости — это 3 и 6. Всего 2 варианта. Общее число благоприятных исходов: $6 \times 2 = 12$. Вероятность события B: $P(B) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$.

Найдем вероятность совместного наступления событий A и B, то есть события $A \cap B$ (на первой кости выпало нечётное число, а на второй — число, кратное 3). Количество вариантов для первой кости — 3 (1, 3, 5), для второй — 2 (3, 6). Общее число благоприятных исходов: $3 \times 2 = 6$. Вероятность события $A \cap B$: $P(A \cap B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Проверим условие независимости $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Произведение вероятностей: $P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$. Поскольку $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$ и $P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6}$, равенство выполняется. Следовательно, события A и B независимы.

Ответ: События A и B независимы.