Номер 1143, страница 350 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 12. Элементы теории вероятностей. Параграф 68. Сложение вероятностей - номер 1143, страница 350.

Условие.

1143 Известно, что среди 100 деталей 5 бракованных. Наугад выбирают 4 детали. Найти вероятность того, что среди них окажется:

1) хотя бы одна бракованная деталь;

2) хотя бы одна не бракованная деталь.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

В данной задаче мы имеем дело с классической вероятностью и комбинаторикой.

Всего имеется 100 деталей. Из них 5 деталей — бракованные. Следовательно, количество не бракованных (качественных) деталей: $100 - 5 = 95$. Случайным образом выбирают 4 детали.

Общее число способов выбрать 4 любые детали из 100 равно числу сочетаний из 100 по 4, что является общим числом равновозможных исходов $N$:

$N = C_{100}^4 = \frac{100!}{4!(100-4)!} = \frac{100!}{4!96!} = \frac{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 25 \cdot 33 \cdot 49 \cdot 97 = 3921225$.

---

1) хотя бы одна бракованная деталь;

Для нахождения вероятности того, что среди 4 выбранных деталей окажется хотя бы одна бракованная (событие A), удобнее сначала найти вероятность противоположного события $\bar{A}$. Противоположное событие заключается в том, что все 4 выбранные детали являются не бракованными.

Число способов выбрать 4 не бракованные детали из 95 имеющихся равно числу сочетаний из 95 по 4. Это число благоприятных исходов для события $\bar{A}$:

$M(\bar{A}) = C_{95}^4 = \frac{95!}{4!(95-4)!} = \frac{95 \cdot 94 \cdot 93 \cdot 92}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 95 \cdot 47 \cdot 31 \cdot 23 = 3184685$.

Вероятность события $\bar{A}$ (все 4 детали не бракованные) равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(\bar{A}) = \frac{M(\bar{A})}{N} = \frac{C_{95}^4}{C_{100}^4} = \frac{3184685}{3921225}$.

Сократим эту дробь. Разделим числитель и знаменатель на 5:

$P(\bar{A}) = \frac{3184685 \div 5}{3921225 \div 5} = \frac{636937}{784245}$.

Вероятность искомого события A (хотя бы одна деталь бракованная) вычисляется через вероятность противоположного события:

$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{636937}{784245} = \frac{784245 - 636937}{784245} = \frac{147308}{784245}$.

Ответ: $\frac{147308}{784245}$

---

2) хотя бы одна не бракованная деталь.

Для нахождения вероятности того, что среди 4 выбранных деталей окажется хотя бы одна не бракованная (событие B), мы также воспользуемся методом вычисления через противоположное событие $\bar{B}$. Противоположное событие заключается в том, что все 4 выбранные детали являются бракованными.

Всего бракованных деталей 5. Число способов выбрать 4 бракованные детали из 5 равно числу сочетаний из 5 по 4. Это число благоприятных исходов для события $\bar{B}$:

$M(\bar{B}) = C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = 5$.

Вероятность события $\bar{B}$ (все 4 детали бракованные) равна:

$P(\bar{B}) = \frac{M(\bar{B})}{N} = \frac{C_5^4}{C_{100}^4} = \frac{5}{3921225}$.

Сократим дробь на 5:

$P(\bar{B}) = \frac{5 \div 5}{3921225 \div 5} = \frac{1}{784245}$.

Вероятность искомого события B (хотя бы одна деталь не бракованная) равна:

$P(B) = 1 - P(\bar{B}) = 1 - \frac{1}{784245} = \frac{784245 - 1}{784245} = \frac{784244}{784245}$.

Ответ: $\frac{784244}{784245}$