Номер 1142, страница 349 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 12. Элементы теории вероятностей. Параграф 68. Сложение вероятностей - номер 1142, страница 349.

Условие.

1142 В коробке лежат 6 белых и 5 красных шаров. Наугад вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них окажется по крайней мере один:

1) белый шар;

2) красный шар.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

В коробке находится $6$ белых и $5$ красных шаров, всего $6 + 5 = 11$ шаров. Наугад вынимают $4$ шара. Так как порядок извлечения шаров не важен, мы будем использовать формулу для числа сочетаний.

Общее число возможных исходов $n$ равно числу способов выбрать $4$ шара из $11$. Это число сочетаний из $11$ по $4$:

$n = C_{11}^4 = \frac{11!}{4!(11-4)!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 10 \cdot 3 = 330$.

1) белый шар

Найдем вероятность события $A$ — «среди вынутых шаров окажется по крайней мере один белый».

Проще найти вероятность противоположного события $A'$, которое заключается в том, что среди $4$ вынутых шаров нет ни одного белого, то есть все $4$ шара являются красными.

Число благоприятствующих событию $A'$ исходов $m_1$ равно числу способов выбрать $4$ красных шара из $5$ имеющихся красных шаров:

$m_1 = C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = 5$.

Вероятность события $A'$ вычисляется по классической формуле вероятности:

$P(A') = \frac{m_1}{n} = \frac{5}{330} = \frac{1}{66}$.

События $A$ и $A'$ являются противоположными, поэтому сумма их вероятностей равна 1. Следовательно, искомая вероятность события $A$ равна:

$P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{1}{66} = \frac{65}{66}$.

Ответ: $\frac{65}{66}$.

2) красный шар

Найдем вероятность события $B$ — «среди вынутых шаров окажется по крайней мере один красный».

Аналогично пункту 1, найдем сначала вероятность противоположного события $B'$, которое заключается в том, что среди $4$ вынутых шаров нет ни одного красного, то есть все $4$ шара являются белыми.

Число благоприятствующих событию $B'$ исходов $m_2$ равно числу способов выбрать $4$ белых шара из $6$ имеющихся белых шаров:

$m_2 = C_6^4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$.

Вероятность события $B'$ равна:

$P(B') = \frac{m_2}{n} = \frac{15}{330} = \frac{1}{22}$.

Искомая вероятность события $B$ равна:

$P(B) = 1 - P(B') = 1 - \frac{1}{22} = \frac{21}{22}$.

Ответ: $\frac{21}{22}$.