Номер 1146, страница 353 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 12. Элементы теории вероятностей. Параграф 69. Независимые события. Умножение вероятностей - номер 1146, страница 353.

Условие.

1146 Наугад называется: 1) одно из первых двенадцати натуральных чисел; 2) одно из первых тринадцати натуральных чисел. Рассматриваются события: $A$ — названное число является чётным, $B$ — названное число кратно трём. Установить, являются ли события $A$ и $B$ независимыми.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Два события $A$ и $B$ называются независимыми, если вероятность их одновременного наступления (пересечения) равна произведению их индивидуальных вероятностей. Математически это выражается формулой: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

Рассмотрим оба случая, описанные в задаче.

1) Названо одно из первых двенадцати натуральных чисел

Пространство элементарных исходов состоит из первых 12 натуральных чисел: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$. Общее число исходов $N=12$.

Событие $A$: названное число является чётным. Благоприятствующие исходы: $\{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$. Число благоприятствующих исходов $|A|=6$.
Вероятность события $A$: $P(A) = \frac{|A|}{N} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

Событие $B$: названное число кратно трём. Благоприятствующие исходы: $\{3, 6, 9, 12\}$. Число благоприятствующих исходов $|B|=4$.
Вероятность события $B$: $P(B) = \frac{|B|}{N} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

Событие $A \cap B$: названное число является чётным и кратно трём, то есть кратно 6. Благоприятствующие исходы: $\{6, 12\}$. Число благоприятствующих исходов $|A \cap B|=2$.
Вероятность пересечения событий $A$ и $B$: $P(A \cap B) = \frac{|A \cap B|}{N} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.

Теперь проверим условие независимости:$P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.

Поскольку $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ ($\frac{1}{6} = \frac{1}{6}$), события $A$ и $B$ являются независимыми.

Ответ: события A и B являются независимыми.

2) Названо одно из первых тринадцати натуральных чисел

Пространство элементарных исходов состоит из первых 13 натуральных чисел: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\}$. Общее число исходов $N=13$.

Событие $A$: названное число является чётным. Благоприятствующие исходы: $\{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$. Число благоприятствующих исходов $|A|=6$.
Вероятность события $A$: $P(A) = \frac{|A|}{N} = \frac{6}{13}$.

Событие $B$: названное число кратно трём. Благоприятствующие исходы: $\{3, 6, 9, 12\}$. Число благоприятствующих исходов $|B|=4$.
Вероятность события $B$: $P(B) = \frac{|B|}{N} = \frac{4}{13}$.

Событие $A \cap B$: названное число кратно 6. Благоприятствующие исходы: $\{6, 12\}$. Число благоприятствующих исходов $|A \cap B|=2$.
Вероятность пересечения событий $A$ и $B$: $P(A \cap B) = \frac{|A \cap B|}{N} = \frac{2}{13}$.

Проверим условие независимости:$P(A) \times P(B) = \frac{6}{13} \times \frac{4}{13} = \frac{24}{169}$.

Сравним полученные значения: $P(A \cap B) = \frac{2}{13}$ и $P(A) \times P(B) = \frac{24}{169}$.Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{2}{13} = \frac{2 \times 13}{13 \times 13} = \frac{26}{169}$.$\frac{26}{169} \neq \frac{24}{169}$.

Поскольку $P(A \cap B) \neq P(A) \times P(B)$, события $A$ и $B$ не являются независимыми (т.е. являются зависимыми).

Ответ: события A и B не являются независимыми.