Номер 1144, страница 350 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 12. Элементы теории вероятностей. Параграф 68. Сложение вероятностей - номер 1144, страница 350.

Условие.

1144 В студенческой группе 24 человека, среди которых только 6 девушек. Случайным образом из числа всех студентов выбирают троих на профсоюзную конференцию. Найти вероятность того, что среди них окажется:

1) по крайней мере одна девушка;

2) по крайней мере один юноша.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

В студенческой группе 24 человека: 6 девушек и $24 - 6 = 18$ юношей. Нужно выбрать 3 человека на конференцию.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Сначала найдем общее число способов выбрать 3 студентов из 24. Это число сочетаний из 24 по 3:

$n = C_{24}^3 = \frac{24!}{3!(24-3)!} = \frac{24!}{3!21!} = \frac{22 \cdot 23 \cdot 24}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 22 \cdot 23 \cdot 4 = 2024$.

Таким образом, существует 2024 способа составить делегацию из 3 человек.

1) по крайней мере одна девушка

Событие "по крайней мере одна девушка" означает, что в выбранной группе из трех человек может быть одна, две или три девушки. Проще найти вероятность противоположного события A', которое заключается в том, что среди выбранных троих нет ни одной девушки (то есть все трое — юноши), а затем вычесть эту вероятность из 1.

Количество юношей в группе — 18. Найдем число способов выбрать 3 юношей из 18:

$m_1 = C_{18}^3 = \frac{18!}{3!(18-3)!} = \frac{18!}{3!15!} = \frac{16 \cdot 17 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 16 \cdot 17 \cdot 3 = 816$.

Вероятность того, что все трое выбранных студентов — юноши:

$P(A') = \frac{m_1}{n} = \frac{816}{2024}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 8:

$P(A') = \frac{816 \div 8}{2024 \div 8} = \frac{102}{253}$.

Тогда вероятность того, что среди выбранных будет хотя бы одна девушка, равна:

$P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{102}{253} = \frac{253 - 102}{253} = \frac{151}{253}$.

Ответ: $\frac{151}{253}$

2) по крайней мере один юноша

Аналогично первому пункту, найдем вероятность противоположного события B', которое заключается в том, что среди выбранных троих нет ни одного юноши (то есть все трое — девушки).

Количество девушек в группе — 6. Найдем число способов выбрать 3 девушек из 6:

$m_2 = C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{4 \cdot 5 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$.

Вероятность того, что все трое выбранных студентов — девушки:

$P(B') = \frac{m_2}{n} = \frac{20}{2024}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$P(B') = \frac{20 \div 4}{2024 \div 4} = \frac{5}{506}$.

Тогда вероятность того, что среди выбранных будет хотя бы один юноша, равна:

$P(B) = 1 - P(B') = 1 - \frac{5}{506} = \frac{506 - 5}{506} = \frac{501}{506}$.

Ответ: $\frac{501}{506}$