Номер 1149, страница 353 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 12. Элементы теории вероятностей. Параграф 69. Независимые события. Умножение вероятностей - номер 1149, страница 353.

Условие.

1149 Для сигнализации об угоне установлены два независимых датчика. Вероятность того, что при угоне сработает первый датчик, равна 0,97, что сработает второй, равна 0,95. Найти вероятность того, что при угоне:

1) сработают оба датчика;

2) оба датчика не сработают;

3) сработает хотя бы один из датчиков;

4) хотя бы один из датчиков не сработает.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Обозначим события:

• $A$ – при угоне сработает первый датчик.
• $B$ – при угоне сработает второй датчик.

По условию задачи, эти события независимы. Вероятности этих событий:

$P(A) = 0,97$

$P(B) = 0,95$

Вероятности противоположных событий (что датчики не сработают) равны:

$\bar{A}$ – первый датчик не сработает: $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,97 = 0,03$.

$\bar{B}$ – второй датчик не сработает: $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,95 = 0,05$.

1) сработают оба датчика

Это событие означает, что произойдут и событие $A$, и событие $B$. Так как события независимы, вероятность их совместного наступления (произведение событий) равна произведению их вероятностей.

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,97 \cdot 0,95 = 0,9215$.

Ответ: 0,9215

2) оба датчика не сработают

Это событие означает, что произойдут и событие $\bar{A}$, и событие $\bar{B}$. Так как события $A$ и $B$ независимы, то и противоположные им события $\bar{A}$ и $\bar{B}$ также независимы.

$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) = 0,03 \cdot 0,05 = 0,0015$.

Ответ: 0,0015

3) сработает хотя бы один из датчиков

Событие "сработает хотя бы один" (сумма событий $A$ и $B$) является противоположным событию "оба датчика не сработают". Поэтому его вероятность можно найти, вычтя из единицы вероятность того, что оба датчика не сработают (которую мы нашли в пункте 2).

$P(A \cup B) = 1 - P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0,0015 = 0,9985$.

Альтернативный способ: по формуле сложения вероятностей:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0,97 + 0,95 - 0,9215 = 1,92 - 0,9215 = 0,9985$.

Ответ: 0,9985

4) хотя бы один из датчиков не сработает

Событие "хотя бы один не сработает" является противоположным событию "сработают оба датчика". Его вероятность можно найти, вычтя из единицы вероятность того, что оба датчика сработают (которую мы нашли в пункте 1).

$P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 1 - P(A \cap B) = 1 - 0,9215 = 0,0785$.

Альтернативный способ: по формуле сложения вероятностей для противоположных событий:

$P(\bar{A} \cup \bar{B}) = P(\bar{A}) + P(\bar{B}) - P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,03 + 0,05 - 0,0015 = 0,08 - 0,0015 = 0,0785$.

Ответ: 0,0785