Номер 1155, страница 354 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 12. Элементы теории вероятностей. Параграф 69. Независимые события. Умножение вероятностей - номер 1155, страница 354.

Условие.

1155 Имеются 3 партии деталей. Вероятность того, что вынутая из первой партии деталь окажется бракованной, равна 0,1. Вероятность того, что бракованной будет вынута из второй партии деталь, равна 0,2. Вероятность того, что бракованной будет вынута из третьей партии деталь, равна 0,3. Случайным образом из каждой партии изымают по одной детали. Найти вероятность того, что:

1) все 3 детали окажутся бракованными;

2) все 3 детали окажутся не бракованными;

3) хотя бы одна деталь окажется не бракованной;

4) хотя бы одна деталь окажется бракованной.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи введем следующие обозначения:
Событие $B_1$ — деталь, вынутая из первой партии, окажется бракованной. Вероятность этого события $P(B_1) = 0,1$.
Событие $B_2$ — деталь, вынутая из второй партии, окажется бракованной. Вероятность этого события $P(B_2) = 0,2$.
Событие $B_3$ — деталь, вынутая из третьей партии, окажется бракованной. Вероятность этого события $P(B_3) = 0,3$.

Также нам понадобятся вероятности противоположных событий (деталь окажется не бракованной):
Событие $\overline{B_1}$ — деталь из первой партии не бракованная. Его вероятность $P(\overline{B_1}) = 1 - P(B_1) = 1 - 0,1 = 0,9$.
Событие $\overline{B_2}$ — деталь из второй партии не бракованная. Его вероятность $P(\overline{B_2}) = 1 - P(B_2) = 1 - 0,2 = 0,8$.
Событие $\overline{B_3}$ — деталь из третьей партии не бракованная. Его вероятность $P(\overline{B_3}) = 1 - P(B_3) = 1 - 0,3 = 0,7$.

Поскольку детали извлекаются из разных партий, события, связанные с качеством деталей из этих партий, являются независимыми.

1) все 3 детали окажутся бракованными
Это означает, что должны одновременно произойти события $B_1$, $B_2$ и $B_3$. Так как события независимы, вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей.
$P(B_1 \text{ и } B_2 \text{ и } B_3) = P(B_1) \cdot P(B_2) \cdot P(B_3) = 0,1 \cdot 0,2 \cdot 0,3 = 0,006$.
Ответ: 0,006

2) все 3 детали окажутся не бракованными
Это означает, что должны одновременно произойти события $\overline{B_1}$, $\overline{B_2}$ и $\overline{B_3}$. Вероятность этого также равна произведению вероятностей независимых событий.
$P(\overline{B_1} \text{ и } \overline{B_2} \text{ и } \overline{B_3}) = P(\overline{B_1}) \cdot P(\overline{B_2}) \cdot P(\overline{B_3}) = 0,9 \cdot 0,8 \cdot 0,7 = 0,504$.
Ответ: 0,504

3) хотя бы одна деталь окажется не бракованной
Это событие является противоположным событию "все 3 детали окажутся бракованными", вероятность которого мы нашли в пункте 1. Чтобы найти искомую вероятность, нужно из 1 вычесть вероятность противоположного события.
$P(\text{хотя бы одна не бракованная}) = 1 - P(\text{все 3 бракованные}) = 1 - 0,006 = 0,994$.
Ответ: 0,994

4) хотя бы одна деталь окажется бракованной
Это событие является противоположным событию "все 3 детали окажутся не бракованными", вероятность которого мы нашли в пункте 2. Чтобы найти искомую вероятность, нужно из 1 вычесть вероятность противоположного события.
$P(\text{хотя бы одна бракованная}) = 1 - P(\text{все 3 не бракованные}) = 1 - 0,504 = 0,496$.
Ответ: 0,496