Номер 1162, страница 359 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 12. Элементы теории вероятностей. Упражнения к главе 12 - номер 1162, страница 359.

Условие.

1162 Двенадцать карточек пронумерованы натуральными числами от 1 до 12. Случайным образом выбирается одна карточка. Рассматриваются события:

1) A — на карточке записан делитель числа 12, B — записано число, кратное 12;

2) A — на карточке делитель числа 6, B — на карточке число, кратное 6;

3) A — на карточке число, меньшее 10, B — на карточке число, большее 5;

4) A — на карточке число, большее 7, B — на карточке число, меньшее 9;

5) A — на карточке число, кратное 2, B — на карточке число, кратное 4;

6) A — на карточке число, кратное 3, B — на карточке число, кратное 6.

Установить, в чём состоят события $A + B$ и $AB$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

В данной задаче пространство всех возможных исходов (номеров на карточках) — это множество натуральных чисел от 1 до 12: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$.
Событие $A+B$ (сумма или объединение) означает, что произошло хотя бы одно из событий: либо $A$, либо $B$, либо оба вместе. Множество исходов для $A+B$ является объединением множеств исходов для $A$ и $B$ ($A \cup B$).
Событие $AB$ (произведение или пересечение) означает, что произошли оба события $A$ и $B$ одновременно. Множество исходов для $AB$ является пересечением множеств исходов для $A$ и $B$ ($A \cap B$).

1)

Событие $A$: на карточке записан делитель числа 12. Множество исходов для $A$: $A = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$.
Событие $B$: на карточке записано число, кратное 12. Множество исходов для $B$: $B = \{12\}$.
Событие $A+B$: на карточке делитель 12 или число, кратное 12. $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\} \cup \{12\} = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$. Это событие совпадает с событием $A$.
Событие $AB$: на карточке делитель 12 и одновременно число, кратное 12. $A \cap B = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\} \cap \{12\} = \{12\}$. Это событие совпадает с событием $B$.
Ответ: $A+B$ — на карточке записан делитель числа 12. $AB$ — на карточке записано число, кратное 12 (то есть число 12).

2)

Событие $A$: на карточке записан делитель числа 6. Множество исходов для $A$: $A = \{1, 2, 3, 6\}$.
Событие $B$: на карточке записано число, кратное 6. Множество исходов для $B$: $B = \{6, 12\}$.
Событие $A+B$: на карточке делитель 6 или число, кратное 6. $A \cup B = \{1, 2, 3, 6\} \cup \{6, 12\} = \{1, 2, 3, 6, 12\}$.
Событие $AB$: на карточке делитель 6 и одновременно число, кратное 6. $A \cap B = \{1, 2, 3, 6\} \cap \{6, 12\} = \{6\}$.
Ответ: $A+B$ — на карточке записано одно из чисел: 1, 2, 3, 6, 12. $AB$ — на карточке записано число 6.

3)

Событие $A$: на карточке записано число, меньшее 10. Множество исходов для $A$: $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.
Событие $B$: на карточке записано число, большее 5. Множество исходов для $B$: $B = \{6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$.
Событие $A+B$: на карточке число меньше 10 или больше 5. $A \cup B = \{1, ..., 9\} \cup \{6, ..., 12\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$. Это достоверное событие (любое число из возможных).
Событие $AB$: на карточке число меньше 10 и одновременно больше 5. $A \cap B = \{1, ..., 9\} \cap \{6, ..., 12\} = \{6, 7, 8, 9\}$.
Ответ: $A+B$ — на карточке записано любое натуральное число от 1 до 12. $AB$ — на карточке записано число, которое больше 5 и меньше 10 (то есть 6, 7, 8 или 9).

4)

Событие $A$: на карточке записано число, большее 7. Множество исходов для $A$: $A = \{8, 9, 10, 11, 12\}$.
Событие $B$: на карточке записано число, меньшее 9. Множество исходов для $B$: $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$.
Событие $A+B$: на карточке число больше 7 или меньше 9. $A \cup B = \{8, 9, 10, 11, 12\} \cup \{1, ..., 8\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$. Это достоверное событие.
Событие $AB$: на карточке число больше 7 и одновременно меньше 9. $A \cap B = \{8, 9, 10, 11, 12\} \cap \{1, ..., 8\} = \{8\}$.
Ответ: $A+B$ — на карточке записано любое натуральное число от 1 до 12. $AB$ — на карточке записано число 8.

5)

Событие $A$: на карточке записано число, кратное 2. Множество исходов для $A$: $A = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$.
Событие $B$: на карточке записано число, кратное 4. Множество исходов для $B$: $B = \{4, 8, 12\}$.
Заметим, что любое число, кратное 4, также является кратным 2, поэтому множество $B$ является подмножеством множества $A$ ($B \subset A$).
Событие $A+B$: на карточке число, кратное 2, или число, кратное 4. Так как $B \subset A$, то $A \cup B = A$. Событие $A+B$ совпадает с событием $A$.
Событие $AB$: на карточке число, кратное 2, и одновременно число, кратное 4. Так как $B \subset A$, то $A \cap B = B$. Событие $AB$ совпадает с событием $B$.
Ответ: $A+B$ — на карточке записано число, кратное 2. $AB$ — на карточке записано число, кратное 4.

6)

Событие $A$: на карточке записано число, кратное 3. Множество исходов для $A$: $A = \{3, 6, 9, 12\}$.
Событие $B$: на карточке записано число, кратное 6. Множество исходов для $B$: $B = \{6, 12\}$.
Любое число, кратное 6, также является кратным 3, поэтому $B \subset A$.
Событие $A+B$: на карточке число, кратное 3, или число, кратное 6. Так как $B \subset A$, то $A \cup B = A$. Событие $A+B$ совпадает с событием $A$.
Событие $AB$: на карточке число, кратное 3, и одновременно число, кратное 6. Так как $B \subset A$, то $A \cap B = B$. Событие $AB$ совпадает с событием $B$.
Ответ: $A+B$ — на карточке записано число, кратное 3. $AB$ — на карточке записано число, кратное 6.