Номер 1160, страница 359 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 12. Элементы теории вероятностей. Упражнения к главе 12 - номер 1160, страница 359.

Условие.

1160 (Устно.) Перечислить все элементарные события, которые могут произойти в результате следующего испытания:

1) наугад называется день недели;

2) перекидной календарь на апрель месяц открывается наугад и читается записанное на листе число;

3) на пол роняется тонкий бутерброд и определяется — на какую сторону он упадёт;

4) бросают на пол 2 монеты и наблюдают выпавшие стороны;

5) на пол бросают 3 монеты и наблюдают выпавшие стороны;

6) по мишени по одному разу стреляют 3 стрелка; наблюдается попадание (П) или непопадание (Н) по мишени каждым из них;

7) из пункта A пешеход может попасть в пункт C по одной из трёх дорог (на рисунке 171 дороги проходят либо по сторонам прямоугольника ABCD, либо по его диагонали AC); оцениваются длины маршрутов в каждом испытании.

Высказать предположение о равновозможности перечисленных элементарных событий.

Рис. 171

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) наугад называется день недели;

Элементарными событиями в данном испытании являются все возможные дни недели, которые могут быть названы. Пространство элементарных событий состоит из 7 исходов.

Перечень элементарных событий: {Понедельник, Вторник, Среда, Четверг, Пятница, Суббота, Воскресенье}.

Предположение о равновозможности: Если день недели называется действительно «наугад», то нет никаких оснований считать, что какой-либо день недели будет назван чаще другого. Следовательно, можно предположить, что все 7 элементарных событий являются равновозможными.

Ответ: Элементарные события: Понедельник, Вторник, Среда, Четверг, Пятница, Суббота, Воскресенье. Эти события, скорее всего, равновозможны.

2) перекидной календарь на апрель месяц открывается наугад и читается записанное на листе число;

В апреле 30 дней. Элементарными событиями являются числа, соответствующие дням месяца апреля. Пространство элементарных событий состоит из 30 исходов.

Перечень элементарных событий: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30}.

Предположение о равновозможности: Если страница календаря открывается «наугад», то это подразумевает, что каждый листок (каждое число) имеет одинаковый шанс быть выбранным. Таким образом, эти 30 событий можно считать равновозможными.

Ответ: Элементарные события: целые числа от 1 до 30. Эти события, скорее всего, равновозможны.

3) на пол роняется тонкий бутерброд и определяется — на какую сторону он упадёт;

У бутерброда две стороны: одна с маслом, другая без. Элементарными событиями являются два возможных исхода падения.

Перечень элементарных событий: {бутерброд упал маслом вверх, бутерброд упал маслом вниз}.

Предположение о равновозможности: Эти два события не являются равновозможными. Из-за смещенного центра тяжести (масло добавляет вес) и типичной высоты падения (например, со стола), бутерброд чаще всего совершает примерно половину оборота в воздухе. Это приводит к тому, что он с большей вероятностью приземляется на сторону с маслом. Это явление известно как «закон бутерброда».

Ответ: Элементарные события: упал маслом вверх, упал маслом вниз. Эти события не являются равновозможными.

4) бросают на пол 2 монеты и наблюдают выпавшие стороны;

Каждая монета может упасть одной из двух сторон: орлом (О) или решкой (Р). Поскольку бросают две монеты, мы должны рассмотреть все возможные комбинации для первой и второй монеты.

Перечень элементарных событий: {ОО, ОР, РО, РР}. Здесь первая буква обозначает результат для первой монеты, а вторая — для второй.

Предположение о равновозможности: Если монеты «честные» (симметричные и однородные), то для каждой монеты выпадение орла и решки равновероятно. Следовательно, все четыре комбинации для двух монет также будут равновозможными.

Ответ: Элементарные события: ОО, ОР, РО, РР (где О — орёл, Р — решка). Эти события являются равновозможными.

5) на пол бросают 3 монеты и наблюдают выпавшие стороны;

Аналогично предыдущему пункту, но с тремя монетами. Каждая из трёх монет может выпасть орлом (О) или решкой (Р).

Перечень элементарных событий: {ООО, ООР, ОРО, РОО, ОРР, РОР, РРО, РРР}. Всего $2^3 = 8$ исходов.

Предположение о равновозможности: При условии, что все три монеты «честные», каждый из восьми исходов имеет одинаковую вероятность ($1/8$). Следовательно, эти события являются равновозможными.

Ответ: Элементарные события: ООО, ООР, ОРО, РОО, ОРР, РОР, РРО, РРР. Эти события являются равновозможными.

6) по мишени по одному разу стреляют 3 стрелка; наблюдается попадание (П) или непопадание (Н) по мишени каждым из них;

Для каждого из трёх стрелков есть два исхода: попадание (П) или непопадание (Н). Мы наблюдаем комбинацию результатов для всех трёх стрелков.

Перечень элементарных событий: {ППП, ППН, ПНП, НПП, ПНН, НПН, ННП, ННН}. Всего $2^3 = 8$ исходов. Здесь первая буква — результат первого стрелка, вторая — второго, третья — третьего.

Предположение о равновозможности: Вероятность попадания зависит от мастерства стрелка и не обязательно равна вероятности промаха. Кроме того, разные стрелки могут иметь разный уровень подготовки. Например, один стрелок может быть снайпером, а другой — новичком. Поэтому вероятность события П для первого стрелка может сильно отличаться от вероятности события П для второго. В общем случае, эти 8 элементарных событий не являются равновозможными. Они были бы равновозможны только в маловероятном случае, если бы для каждого из трёх стрелков вероятность попадания была бы в точности равна $1/2$.

Ответ: Элементарные события: ППП, ППН, ПНП, НПП, ПНН, НПН, ННП, ННН (где П — попадание, Н — непопадание). Эти события, как правило, не являются равновозможными.

7) из пункта А пешеход может попасть в пункт С по одной из трёх дорог (на рисунке 171 дороги проходят либо по сторонам прямоугольника ABCD, либо по его диагонали AC); оцениваются длины маршрутов в каждом испытании.

Элементарными событиями являются три возможных маршрута, которые может выбрать пешеход для перемещения из точки А в точку С.

Перечень элементарных событий: {маршрут A→B→C, маршрут A→D→C, маршрут A→C}.

Предположение о равновозможности: Для оценки равновозможности выбора маршрута следует сравнить их длины. Пусть стороны прямоугольника равны $AB = CD = a$ и $AD = BC = b$. Длина маршрута A→B→C равна $a + b$. Длина маршрута A→D→C также равна $b + a$. Длина маршрута A→C по диагонали равна $\sqrt{a^2 + b^2}$.

Согласно неравенству треугольника для треугольника ABC, сумма длин двух сторон всегда больше длины третьей стороны: $AB + BC > AC$, то есть $a+b > \sqrt{a^2 + b^2}$. Таким образом, маршрут по диагонали (A→C) является самым коротким. Маршруты A→B→C и A→D→C имеют одинаковую, но большую длину. Рациональный пешеход, стремящийся минимизировать расстояние, всегда выберет самый короткий путь A→C. В таком случае выбор не является случайным, и события не будут равновозможными. Вероятность выбора маршрута A→C будет близка к 1, а остальных — к 0. Если же выбор происходит по каким-то другим, неизвестным нам причинам, или совершенно случайно, то события могут быть равновозможными, но это маловероятно.

Ответ: Элементарные события: выбор одного из трех маршрутов (A→B→C, A→D→C, A→C). Эти события не являются равновозможными, так как один из маршрутов короче двух других.