Номер 1159, страница 358 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 12. Элементы теории вероятностей. Параграф 70. Статистическая вероятность - номер 1159, страница 358.

Условие.

1159 Провести серии из $N$ испытаний (где $N_1 = 10, N_2 = 20, N_3 = 40, N_4 = 50$) с подбрасыванием игрального кубика, наблюдая за частотой появления числа 1. Убедиться в том, что относительная частота события $A$ — появление числа 1 с увеличением $N$ всё меньше отличается от числа $\frac{1}{6}$ (значения вероятности этого события в классическом понимании).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Данная задача иллюстрирует закон больших чисел, который гласит, что относительная частота события в серии независимых испытаний сходится к его теоретической вероятности при увеличении числа испытаний.

Событие A, которое мы рассматриваем, — это "выпадение числа 1" при броске стандартного шестигранного игрального кубика. В классическом понимании, вероятность этого события $P(A)$ равна отношению числа благоприятных исходов (выпадение "1", т.е. 1 исход) к общему числу равновозможных исходов (выпадение чисел от 1 до 6, т.е. 6 исходов).

Таким образом, теоретическая вероятность события A составляет: $P(A) = \frac{1}{6} \approx 0.1667$.

Относительная частота события $W(A)$ определяется формулой $W(A) = \frac{k}{N}$, где $k$ — количество раз, когда событие A произошло, а $N$ — общее количество испытаний. Наша цель — показать, что с ростом $N$ значение $W(A)$ приближается к $P(A)$.

Поскольку результаты бросков кубика случайны, мы проведем симуляцию эксперимента, используя правдоподобные исходы для каждой серии.

---

$N_1 = 10$

Проведем первую серию из $N_1 = 10$ бросков. Допустим, в результате этих бросков число 1 выпало $k_1 = 2$ раза. Тогда относительная частота появления числа 1 в этой серии равна:

$W_1(A) = \frac{k_1}{N_1} = \frac{2}{10} = 0.2$

Отклонение этой частоты от теоретической вероятности составляет:

$|\Delta_1| = |W_1(A) - P(A)| = |0.2 - \frac{1}{6}| = |\frac{1}{5} - \frac{1}{6}| = |\frac{6 - 5}{30}| = \frac{1}{30} \approx 0.0333$

Ответ: Относительная частота равна $0.2$.

---

$N_2 = 20$

Проведем вторую серию из $N_2 = 20$ бросков. Предположим, что число 1 выпало $k_2 = 3$ раза. Рассчитаем относительную частоту для этой серии:

$W_2(A) = \frac{k_2}{N_2} = \frac{3}{20} = 0.15$

Отклонение от теоретической вероятности в данном случае:

$|\Delta_2| = |W_2(A) - P(A)| = |0.15 - \frac{1}{6}| = |\frac{3}{20} - \frac{1}{6}| = |\frac{9 - 10}{60}| = \frac{1}{60} \approx 0.0167$

Ответ: Относительная частота равна $0.15$.

---

$N_3 = 40$

Проведем третью серию из $N_3 = 40$ бросков. Пусть число 1 выпало $k_3 = 7$ раз. Относительная частота составит:

$W_3(A) = \frac{k_3}{N_3} = \frac{7}{40} = 0.175$

Отклонение от теоретической вероятности для этой серии:

$|\Delta_3| = |W_3(A) - P(A)| = |0.175 - \frac{1}{6}| = |\frac{7}{40} - \frac{1}{6}| = |\frac{21 - 20}{120}| = \frac{1}{120} \approx 0.0083$

Ответ: Относительная частота равна $0.175$.

---

$N_4 = 50$

Проведем четвертую, самую длинную серию из $N_4 = 50$ бросков. Допустим, число 1 выпало $k_4 = 8$ раз. Вычислим относительную частоту:

$W_4(A) = \frac{k_4}{N_4} = \frac{8}{50} = 0.16$

Отклонение от теоретической вероятности будет равно:

$|\Delta_4| = |W_4(A) - P(A)| = |0.16 - \frac{1}{6}| = |\frac{16}{100} - \frac{1}{6}| = |\frac{4}{25} - \frac{1}{6}| = |\frac{24 - 25}{150}| = \frac{1}{150} \approx 0.0067$

Ответ: Относительная частота равна $0.16$.

---

Вывод

Сравним отклонения относительных частот от теоретической вероятности для всех четырех серий испытаний:

• При $N_1 = 10$, отклонение $|\Delta_1| \approx 0.0333$
• При $N_2 = 20$, отклонение $|\Delta_2| \approx 0.0167$
• При $N_3 = 40$, отклонение $|\Delta_3| \approx 0.0083$
• При $N_4 = 50$, отклонение $|\Delta_4| \approx 0.0067$

Мы видим, что с увеличением числа испытаний $N$ (10, 20, 40, 50) абсолютное значение отклонения относительной частоты от теоретической вероятности ($\frac{1}{6}$) уменьшается ($0.0333 > 0.0167 > 0.0083 > 0.0067$). Это наглядно демонстрирует, что относительная частота события стабилизируется около его вероятности при увеличении числа экспериментов, что и требовалось показать.