Номер 1153, страница 354 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 12. Элементы теории вероятностей. Параграф 69. Независимые события. Умножение вероятностей - номер 1153, страница 354.

Условие.

1153 Вероятность $P$ того, что при измерении прибором некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, постоянна. Вероятность того, что ошибка будет допущена этим прибором хотя бы один раз из двух измерений, равна $\frac{32}{81}$. Найти $P$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $P$ — это вероятность того, что при одном измерении будет допущена ошибка, превышающая заданную точность. Тогда вероятность того, что ошибка не будет допущена (т.е. измерение будет точным), равна $1-P$.

Событие "ошибка будет допущена хотя бы один раз из двух измерений" является противоположным (дополнительным) событию "ошибка не будет допущена ни разу в двух измерениях".

Поскольку измерения являются независимыми событиями, вероятность того, что ошибка не будет допущена в обоих измерениях, равна произведению вероятностей отсутствия ошибки в каждом из них:

$P(\text{нет ошибки в двух измерениях}) = P(\text{нет ошибки в 1-м}) \cdot P(\text{нет ошибки во 2-м}) = (1-P) \cdot (1-P) = (1-P)^2$.

Вероятность события "ошибка будет допущена хотя бы один раз из двух измерений" можно найти, вычитая из единицы вероятность противоположного события:

$P(\text{хотя бы одна ошибка}) = 1 - P(\text{нет ошибки в двух измерениях}) = 1 - (1-P)^2$.

По условию задачи, эта вероятность равна $\frac{32}{81}$. Составим и решим уравнение:

$1 - (1-P)^2 = \frac{32}{81}$

Перенесем $(1-P)^2$ в правую часть, а $\frac{32}{81}$ в левую:

$(1-P)^2 = 1 - \frac{32}{81}$

$(1-P)^2 = \frac{81 - 32}{81}$

$(1-P)^2 = \frac{49}{81}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как $P$ является вероятностью, она должна находиться в диапазоне $0 \le P \le 1$, а значит, выражение $1-P$ должно быть неотрицательным. Поэтому мы рассматриваем только арифметический корень:

$1-P = \sqrt{\frac{49}{81}}$

$1-P = \frac{7}{9}$

Теперь найдем $P$:

$P = 1 - \frac{7}{9}$

$P = \frac{9}{9} - \frac{7}{9} = \frac{2}{9}$

Ответ: $P = \frac{2}{9}$.