Номер 1132, страница 346 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 12. Элементы теории вероятностей. Параграф 67. Вероятность события - номер 1132, страница 346.

Условие.

1132 Брошены 3 игральные кости. Какова вероятность того, что:

1) на каждой кости выпало число 3;

2) выпали одинаковые числа;

3) сумма чисел на всех костях равна 4;

4) произведение всех выпавших чисел равно 2?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи сначала определим общее число возможных исходов. При броске одной игральной кости возможно 6 исходов (числа от 1 до 6). Поскольку бросают 3 игральные кости, и результаты бросков независимы, общее число всех возможных комбинаций выпавших чисел вычисляется как произведение числа исходов для каждой кости.

Общее число равновозможных исходов $N$ равно:
$N = 6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216$.

Вероятность любого события $A$ находится по классической формуле вероятности: $P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ — это число благоприятных исходов для этого события, а $N$ — общее число исходов.

1) на каждой кости выпало число 3;
Событие заключается в том, что на первой, второй и третьей кости выпало число 3. Этому условию удовлетворяет только один исход: (3, 3, 3).
Число благоприятных исходов $m_1 = 1$.
Вероятность этого события равна:
$P_1 = \frac{m_1}{N} = \frac{1}{216}$.
Ответ: $\frac{1}{216}$.

2) выпали одинаковые числа;
Событие заключается в том, что на всех трех костях выпало одно и то же число. Это могут быть следующие комбинации:
(1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3), (4, 4, 4), (5, 5, 5), (6, 6, 6).
Всего таких комбинаций 6.
Число благоприятных исходов $m_2 = 6$.
Вероятность этого события равна:
$P_2 = \frac{m_2}{N} = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}$.
Ответ: $\frac{1}{36}$.

3) сумма чисел на всех костях равна 4;
Событие заключается в том, что сумма очков на трех костях равна 4. Найдем все комбинации чисел, дающие в сумме 4. Учитывая, что минимальное значение на кости равно 1, единственная возможная комбинация чисел (без учета их порядка) — это {1, 1, 2}.
Теперь нужно учесть порядок выпадения этих чисел на трех костях. Возможны следующие упорядоченные наборы (исходы):
(1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1).
Всего таких исходов 3.
Число благоприятных исходов $m_3 = 3$.
Вероятность этого события равна:
$P_3 = \frac{m_3}{N} = \frac{3}{216} = \frac{1}{72}$.
Ответ: $\frac{1}{72}$.

4) произведение всех выпавших чисел равно 2?
Событие заключается в том, что произведение очков на трех костях равно 2. Поскольку 2 является простым числом, единственным способом получить его как произведение трех натуральных чисел (которые могут выпасть на костях) является $1 \times 1 \times 2$.
Следовательно, на костях должны выпасть числа {1, 1, 2}.
Как и в предыдущем пункте, необходимо учесть порядок выпадения. Благоприятными исходами являются:
(1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1).
Всего таких исходов 3.
Число благоприятных исходов $m_4 = 3$.
Вероятность этого события равна:
$P_4 = \frac{m_4}{N} = \frac{3}{216} = \frac{1}{72}$.
Ответ: $\frac{1}{72}$.