Номер 1131, страница 346 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 12. Элементы теории вероятностей. Параграф 67. Вероятность события - номер 1131, страница 346.

Условие.

1131 Среди 15 лампочек 4 испорчены. Наугад берут 2 лампочки. Какова вероятность того, что:

1) обе выбранные лампочки испорчены;

2) одна лампочка исправная, а одна — испорченная;

3) обе лампочки исправные?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности и формулами комбинаторики.Всего имеется 15 лампочек. Из них 4 испорчены, а остальные $15 - 4 = 11$ исправны.Необходимо найти вероятность различных исходов при случайном выборе 2 лампочек.

Общее число способов выбрать 2 лампочки из 15 равно числу сочетаний из 15 по 2. Это общее число всех равновозможных элементарных исходов $N$.

$N = C_{15}^2 = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15!}{2! \cdot 13!} = \frac{14 \cdot 15}{2 \cdot 1} = 105$.

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

1) обе выбранные лампочки испорчены;

Это означает, что мы должны выбрать 2 лампочки из 4 испорченных. Число таких способов (благоприятных исходов) $m_1$ равно числу сочетаний из 4 по 2.

$m_1 = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 6$.

Вероятность $P_1$ того, что обе лампочки окажутся испорченными, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P_1 = \frac{m_1}{N} = \frac{6}{105}$.

Сократим дробь на 3:

$P_1 = \frac{2}{35}$.

Ответ: $\frac{2}{35}$.

2) одна лампочка исправная, а одна — испорченная;

Для этого события нам нужно выбрать 1 исправную лампочку из 11 и 1 испорченную лампочку из 4.Число способов выбрать 1 исправную лампочку из 11 равно $C_{11}^1 = 11$.Число способов выбрать 1 испорченную лампочку из 4 равно $C_4^1 = 4$.По правилу произведения в комбинаторике, общее число благоприятных исходов $m_2$ равно:

$m_2 = C_{11}^1 \cdot C_4^1 = 11 \cdot 4 = 44$.

Вероятность $P_2$ этого события равна:

$P_2 = \frac{m_2}{N} = \frac{44}{105}$.

Ответ: $\frac{44}{105}$.

3) обе лампочки исправные?

В этом случае обе выбранные лампочки должны быть из 11 исправных. Число благоприятных исходов $m_3$ равно числу сочетаний из 11 по 2.

$m_3 = C_{11}^2 = \frac{11!}{2!(11-2)!} = \frac{11!}{2! \cdot 9!} = \frac{10 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 55$.

Вероятность $P_3$ того, что обе лампочки окажутся исправными, равна:

$P_3 = \frac{m_3}{N} = \frac{55}{105}$.

Сократим дробь на 5:

$P_3 = \frac{11}{21}$.

Ответ: $\frac{11}{21}$.