Номер 1170, страница 361 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

1170 Наугад называется одно из первых: 1) девятнадцати; 2) двадцати натуральных чисел; рассматриваются события: $A$ — названо число, кратное 4, $B$ — названо число, кратное 5. Выяснить, являются ли события $A$ и $B$ независимыми.

Два события $A$ и $B$ называются независимыми, если вероятность их совместного наступления (пересечения) равна произведению их вероятностей: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

1) девятнадцати
Рассматриваются первые 19 натуральных чисел, т.е. множество $\{1, 2, ..., 19\}$. Общее число исходов $n=19$.
Событие $A$: названо число, кратное 4. Такими числами являются 4, 8, 12, 16. Количество благоприятных исходов для события $A$ равно $m_A = 4$.
Вероятность события $A$: $P(A) = \frac{m_A}{n} = \frac{4}{19}$.
Событие $B$: названо число, кратное 5. Такими числами являются 5, 10, 15. Количество благоприятных исходов для события $B$ равно $m_B = 3$.
Вероятность события $B$: $P(B) = \frac{m_B}{n} = \frac{3}{19}$.
Событие $A \cap B$: названо число, кратное одновременно 4 и 5, то есть кратное их наименьшему общему кратному, НОК(4, 5) = 20. Среди первых 19 натуральных чисел нет чисел, кратных 20. Следовательно, количество благоприятных исходов для события $A \cap B$ равно $m_{A \cap B} = 0$.
Вероятность события $A \cap B$: $P(A \cap B) = \frac{m_{A \cap B}}{n} = \frac{0}{19} = 0$.
Теперь проверим условие независимости: $P(A) \cdot P(B) = \frac{4}{19} \cdot \frac{3}{19} = \frac{12}{361}$.
Так как $P(A \cap B) = 0$ и $P(A) \cdot P(B) = \frac{12}{361}$, то равенство $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ не выполняется.
Ответ: события $A$ и $B$ не являются независимыми (являются зависимыми).

2) двадцати
Рассматриваются первые 20 натуральных чисел, т.е. множество $\{1, 2, ..., 20\}$. Общее число исходов $n=20$.
Событие $A$: названо число, кратное 4. Такими числами являются 4, 8, 12, 16, 20. Количество благоприятных исходов для события $A$ равно $m_A = 5$.
Вероятность события $A$: $P(A) = \frac{m_A}{n} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$.
Событие $B$: названо число, кратное 5. Такими числами являются 5, 10, 15, 20. Количество благоприятных исходов для события $B$ равно $m_B = 4$.
Вероятность события $B$: $P(B) = \frac{m_B}{n} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.
Событие $A \cap B$: названо число, кратное одновременно 4 и 5, то есть кратное 20. Среди первых 20 натуральных чисел есть одно такое число: 20. Количество благоприятных исходов для события $A \cap B$ равно $m_{A \cap B} = 1$.
Вероятность события $A \cap B$: $P(A \cap B) = \frac{m_{A \cap B}}{n} = \frac{1}{20}$.
Теперь проверим условие независимости: $P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{20}$.
Так как $P(A \cap B) = \frac{1}{20}$ и $P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{20}$, то равенство $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ выполняется.
Ответ: события $A$ и $B$ являются независимыми.