Номер 1172, страница 361 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 12. Элементы теории вероятностей. Упражнения к главе 12 - номер 1172, страница 361.

Условие.

1172 Вероятность того, что лампочка в люстре перегорит в течение года, равна 0,3. Считая, что каждая из двух таких лампочек в люстре перегорает независимо от другой, найти вероятность события:

1) в течение года перегорят обе лампочки;

2) в течение года не перегорит ни одна из лампочек;

3) в течение года перегорит хотя бы одна лампочка;

4) в течение года не перегорит хотя бы одна лампочка.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть событие $A$ заключается в том, что первая лампочка перегорит в течение года, а событие $B$ – в том, что вторая лампочка перегорит в течение года. По условию, эти события независимы.

Вероятность того, что лампочка перегорит, равна $P(A) = P(B) = 0,3$.

Тогда вероятность того, что лампочка не перегорит (противоположное событие, обозначим $\bar{A}$ и $\bar{B}$), равна:
$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,3 = 0,7$
$P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,3 = 0,7$

1) в течение года перегорят обе лампочки;

Требуется найти вероятность совместного наступления двух независимых событий $A$ и $B$. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,3 \cdot 0,3 = 0,09$.
Ответ: $0,09$

2) в течение года не перегорит ни одна из лампочек;

Это событие означает, что первая лампочка не перегорит ($\bar{A}$) и вторая лампочка не перегорит ($\bar{B}$). Так как события $\bar{A}$ и $\bar{B}$ также независимы, их совместная вероятность равна:
$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) = 0,7 \cdot 0,7 = 0,49$.
Ответ: $0,49$

3) в течение года перегорит хотя бы одна лампочка;

Событие «перегорит хотя бы одна лампочка» является противоположным событию «не перегорит ни одна лампочка». Вероятность этого события можно найти, вычтя из единицы вероятность противоположного события, найденную в пункте 2:
$P(\text{хотя бы одна перегорит}) = 1 - P(\text{ни одна не перегорит}) = 1 - P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0,49 = 0,51$.
Ответ: $0,51$

4) в течение года не перегорит хотя бы одна лампочка.

Событие «не перегорит хотя бы одна лампочка» является противоположным событию «перегорят обе лампочки». Вероятность этого события можно найти, вычтя из единицы вероятность противоположного события, найденную в пункте 1:
$P(\text{хотя бы одна не перегорит}) = 1 - P(\text{обе перегорят}) = 1 - P(A \cap B) = 1 - 0,09 = 0,91$.
Ответ: $0,91$