Номер 1219, страница 384 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 13. Статистика. Упражнения к главе 13 - номер 1219, страница 384.

Условие.

1219 Найти размах, моду, медиану и среднее выборки значений случайной величины $X$, распределение которых по частотам $M$ задано таблицей:

1)

$X$	-1	0	1	3	5	6
$M$	2	3	4	1	1	1

2)

$X$	-2	-1	0	2	3	4
$M$	1	2	4	4	1	1

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для того чтобы найти статистические характеристики для первой выборки, сначала представим ее в виде упорядоченного ряда. Таблица частот показывает, что значение -1 встречается 2 раза, 0 — 3 раза, 1 — 4 раза, и значения 3, 5, 6 — по 1 разу.
Упорядоченный ряд данных: -1, -1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 6.
Общий объем выборки (количество элементов) $n = 2 + 3 + 4 + 1 + 1 + 1 = 12$.

Размах — это разность между максимальным и минимальным значениями выборки.
$X_{max} = 6$
$X_{min} = -1$
Размах = $6 - (-1) = 7$.

Мода — это значение, которое встречается в выборке наиболее часто.
Из таблицы частот видно, что наибольшая частота $M = 4$ соответствует значению $X = 1$.
Мода = 1.

Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного ряда данных.
Поскольку объем выборки $n = 12$ (четное число), медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов, которые находятся на позициях $n/2 = 6$ и $n/2 + 1 = 7$.
В ряду -1, -1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 6 на 6-м и 7-м местах стоит число 1.
Медиана = $\frac{1 + 1}{2} = 1$.

Среднее значение (или среднее арифметическое) вычисляется по формуле взвешенного среднего:
$\bar{X} = \frac{\sum (X_i \cdot M_i)}{\sum M_i} = \frac{(-1 \cdot 2) + (0 \cdot 3) + (1 \cdot 4) + (3 \cdot 1) + (5 \cdot 1) + (6 \cdot 1)}{12}$
$\bar{X} = \frac{-2 + 0 + 4 + 3 + 5 + 6}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$.

Ответ: Размах равен 7, мода равна 1, медиана равна 1, среднее равно $\frac{4}{3}$.

2) Аналогично найдем характеристики для второй выборки. Представим ее в виде упорядоченного ряда. Значение -2 встречается 1 раз, -1 — 2 раза, 0 — 4 раза, 2 — 4 раза, 3 — 1 раз, 4 — 1 раз.
Упорядоченный ряд данных: -2, -1, -1, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 2, 3, 4.
Общий объем выборки $n = 1 + 2 + 4 + 4 + 1 + 1 = 13$.

Размах — разность между максимальным и минимальным значениями.
$X_{max} = 4$
$X_{min} = -2$
Размах = $4 - (-2) = 6$.

Мода — наиболее часто встречающееся значение.
Из таблицы частот видно, что максимальная частота $M = 4$ соответствует двум значениям: $X = 0$ и $X = 2$. Такая выборка называется бимодальной.
Моды = 0 и 2.

Медиана — значение в середине упорядоченного ряда.
Поскольку объем выборки $n = 13$ (нечетное число), медиана равна значению элемента, стоящего на центральной позиции $\frac{n+1}{2} = \frac{13+1}{2} = 7$.
В ряду -2, -1, -1, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 2, 3, 4 на 7-м месте стоит число 0.
Медиана = 0.

Среднее значение вычисляется по формуле:
$\bar{X} = \frac{\sum (X_i \cdot M_i)}{\sum M_i} = \frac{(-2 \cdot 1) + (-1 \cdot 2) + (0 \cdot 4) + (2 \cdot 4) + (3 \cdot 1) + (4 \cdot 1)}{13}$
$\bar{X} = \frac{-2 - 2 + 0 + 8 + 3 + 4}{13} = \frac{11}{13}$.

Ответ: Размах равен 6, моды равны 0 и 2, медиана равна 0, среднее равно $\frac{11}{13}$.