Номер 1223, страница 385 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 13. Статистика. Упражнения к главе 13 - номер 1223, страница 385.

Условие.

1223 Сравнить стабильность производительности труда двух рабочих, первый из которых работал 5 дней, а второй — 6 дней, при этом они имели одинаковую среднюю производительность:

1) Порядковый номер дня недели: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Производительность труда I рабочего (дет. / день): 8, 11, 9, 12, 10, —

Производительность труда II рабочего (дет. / день): 8, 12, 11, 8, 12, 9

2) Порядковый номер дня недели: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Производительность труда I рабочего (дет. / день): 9, —, 11, 10, 11, 9

Производительность труда II рабочего (дет. / день): 9, 10, 11, 11, 10, 9

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для сравнения стабильности производительности труда необходимо оценить, насколько сильно ежедневные значения отклоняются от среднего значения. Чем меньше разброс данных, тем стабильнее производительность. В качестве меры разброса будем использовать среднеквадратическое (стандартное) отклонение. В условии задачи указано, что средняя производительность у рабочих одинаковая. Сначала проверим это, а затем вычислим стандартное отклонение для каждого рабочего.

Расчет для первого рабочего (I)

Производительность по дням: $8, 11, 9, 12, 10$ деталей в день. Всего отработано $n_1 = 5$ дней.

Средняя производительность: $\bar{x}_1 = \frac{8 + 11 + 9 + 12 + 10}{5} = \frac{50}{5} = 10$ деталей в день.

Дисперсия (средний квадрат отклонений от среднего):

$D_1 = \sigma_1^2 = \frac{(8-10)^2 + (11-10)^2 + (9-10)^2 + (12-10)^2 + (10-10)^2}{5}$

$D_1 = \frac{(-2)^2 + 1^2 + (-1)^2 + 2^2 + 0^2}{5} = \frac{4+1+1+4+0}{5} = \frac{10}{5} = 2$.

Среднеквадратическое отклонение: $\sigma_1 = \sqrt{D_1} = \sqrt{2} \approx 1.414$.

Расчет для второго рабочего (II)

Производительность по дням: $8, 12, 11, 8, 12, 9$ деталей в день. Всего отработано $n_2 = 6$ дней.

Средняя производительность: $\bar{x}_2 = \frac{8+12+11+8+12+9}{6} = \frac{60}{6} = 10$ деталей в день.

Дисперсия:

$D_2 = \sigma_2^2 = \frac{(8-10)^2 + (12-10)^2 + (11-10)^2 + (8-10)^2 + (12-10)^2 + (9-10)^2}{6}$

$D_2 = \frac{(-2)^2 + 2^2 + 1^2 + (-2)^2 + 2^2 + (-1)^2}{6} = \frac{4+4+1+4+4+1}{6} = \frac{18}{6} = 3$.

Среднеквадратическое отклонение: $\sigma_2 = \sqrt{D_2} = \sqrt{3} \approx 1.732$.

Сравнение и вывод

Сравниваем среднеквадратические отклонения двух рабочих: $\sigma_1 \approx 1.414$ и $\sigma_2 \approx 1.732$.

Так как $\sigma_1 < \sigma_2$ ($ \sqrt{2} < \sqrt{3} $), отклонение от средней производительности у первого рабочего меньше. Следовательно, его производительность более стабильна.

Ответ: производительность труда первого рабочего более стабильна.

2)

Проведем аналогичные расчеты для второго набора данных.

Расчет для первого рабочего (I)

Производительность по дням: $9, 11, 10, 11, 9$ деталей в день. Прочерк в таблице означает пропущенный день, поэтому общее число рабочих дней $n_1 = 5$.

Средняя производительность: $\bar{x}_1 = \frac{9 + 11 + 10 + 11 + 9}{5} = \frac{50}{5} = 10$ деталей в день.

Дисперсия:

$D_1 = \sigma_1^2 = \frac{(9-10)^2 + (11-10)^2 + (10-10)^2 + (11-10)^2 + (9-10)^2}{5}$

$D_1 = \frac{(-1)^2 + 1^2 + 0^2 + 1^2 + (-1)^2}{5} = \frac{1+1+0+1+1}{5} = \frac{4}{5} = 0.8$.

Среднеквадратическое отклонение: $\sigma_1 = \sqrt{D_1} = \sqrt{0.8} \approx 0.894$.

Расчет для второго рабочего (II)

Производительность по дням: $9, 10, 11, 11, 10, 9$ деталей в день. Всего отработано $n_2 = 6$ дней.

Средняя производительность: $\bar{x}_2 = \frac{9+10+11+11+10+9}{6} = \frac{60}{6} = 10$ деталей в день.

Дисперсия:

$D_2 = \sigma_2^2 = \frac{(9-10)^2 + (10-10)^2 + (11-10)^2 + (11-10)^2 + (10-10)^2 + (9-10)^2}{6}$

$D_2 = \frac{(-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 1^2 + 0^2 + (-1)^2}{6} = \frac{1+0+1+1+0+1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Среднеквадратическое отклонение: $\sigma_2 = \sqrt{D_2} = \sqrt{\frac{2}{3}} \approx 0.816$.

Сравнение и вывод

Сравниваем среднеквадратические отклонения: $\sigma_1 \approx 0.894$ и $\sigma_2 \approx 0.816$.

Так как $\sigma_2 < \sigma_1$ ($\sqrt{2/3} < \sqrt{0.8}$, поскольку $2/3 \approx 0.667$, а $0.8$ больше), отклонение от средней производительности у второго рабочего меньше. Следовательно, его производительность более стабильна.

Ответ: производительность труда второго рабочего более стабильна.