Номер 1221, страница 385 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 13. Статистика. Упражнения к главе 13 - номер 1221, страница 385.

Условие.

1221 Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение значений случайной величины $Z$, заданных распределением по частотам $M$:

1) $Z$: -2, -1, 1, 3

$M$: 2, 1, 3, 1

2) $Z$: -4, -1, 2, 3

$M$: 1, 2, 3, 1

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения дисперсии и среднего квадратичного отклонения для каждого случая необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти объем выборки $n$ как сумму всех частот.
2. Вычислить среднее значение (математическое ожидание) $\bar{Z}$.
3. Вычислить дисперсию $D(Z)$.
4. Вычислить среднее квадратичное отклонение $\sigma(Z)$.

1)

Дано распределение случайной величины $Z$ по частотам $M$:

$Z$	-2	-1	1	3
$M$	2	1	3	1

1. Найдем объем выборки $n$ (сумму всех частот):

$n = \sum m_i = 2 + 1 + 3 + 1 = 7$.

2. Вычислим среднее значение $\bar{Z}$ по формуле $\bar{Z} = \frac{\sum z_i m_i}{n}$:

$\bar{Z} = \frac{(-2) \cdot 2 + (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 3 \cdot 1}{7} = \frac{-4 - 1 + 3 + 3}{7} = \frac{1}{7}$.

3. Вычислим дисперсию $D(Z)$. Удобнее всего использовать формулу $D(Z) = \overline{Z^2} - (\bar{Z})^2$, где $\overline{Z^2} = \frac{\sum z_i^2 m_i}{n}$.

Сначала найдем $\overline{Z^2}$:

$\overline{Z^2} = \frac{(-2)^2 \cdot 2 + (-1)^2 \cdot 1 + 1^2 \cdot 3 + 3^2 \cdot 1}{7} = \frac{4 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 9 \cdot 1}{7} = \frac{8 + 1 + 3 + 9}{7} = \frac{21}{7} = 3$.

Теперь вычислим дисперсию:

$D(Z) = 3 - (\frac{1}{7})^2 = 3 - \frac{1}{49} = \frac{147}{49} - \frac{1}{49} = \frac{146}{49}$.

4. Вычислим среднее квадратичное отклонение $\sigma(Z)$ по формуле $\sigma(Z) = \sqrt{D(Z)}$:

$\sigma(Z) = \sqrt{\frac{146}{49}} = \frac{\sqrt{146}}{\sqrt{49}} = \frac{\sqrt{146}}{7}$.

Ответ: дисперсия $D(Z) = \frac{146}{49}$; среднее квадратичное отклонение $\sigma(Z) = \frac{\sqrt{146}}{7}$.

2)

Дано распределение случайной величины $Z$ по частотам $M$:

$Z$	-4	-1	2	3
$M$	1	2	3	1

1. Найдем объем выборки $n$ (сумму всех частот):

$n = \sum m_i = 1 + 2 + 3 + 1 = 7$.

2. Вычислим среднее значение $\bar{Z}$ по формуле $\bar{Z} = \frac{\sum z_i m_i}{n}$:

$\bar{Z} = \frac{(-4) \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 1}{7} = \frac{-4 - 2 + 6 + 3}{7} = \frac{3}{7}$.

3. Вычислим дисперсию $D(Z)$ по формуле $D(Z) = \overline{Z^2} - (\bar{Z})^2$, где $\overline{Z^2} = \frac{\sum z_i^2 m_i}{n}$.

Сначала найдем $\overline{Z^2}$:

$\overline{Z^2} = \frac{(-4)^2 \cdot 1 + (-1)^2 \cdot 2 + 2^2 \cdot 3 + 3^2 \cdot 1}{7} = \frac{16 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 9 \cdot 1}{7} = \frac{16 + 2 + 12 + 9}{7} = \frac{39}{7}$.

Теперь вычислим дисперсию:

$D(Z) = \frac{39}{7} - (\frac{3}{7})^2 = \frac{39}{7} - \frac{9}{49} = \frac{39 \cdot 7}{49} - \frac{9}{49} = \frac{273 - 9}{49} = \frac{264}{49}$.

4. Вычислим среднее квадратичное отклонение $\sigma(Z)$ по формуле $\sigma(Z) = \sqrt{D(Z)}$:

$\sigma(Z) = \sqrt{\frac{264}{49}} = \frac{\sqrt{264}}{\sqrt{49}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 66}}{7} = \frac{2\sqrt{66}}{7}$.

Ответ: дисперсия $D(Z) = \frac{264}{49}$; среднее квадратичное отклонение $\sigma(Z) = \frac{2\sqrt{66}}{7}$.