Номер 1224, страница 385 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 13. Статистика. Упражнения к главе 13 - номер 1224, страница 385.

Условие.

1224 Были произведены замеры десяти диаметров $d$ оснований цилиндров в партии стальных заготовок. Замеры производились дважды — двумя различными измерительными приборами. Результаты измерений (с точностью до 1 мм) первым прибором представлены в таблице слева, а вторым прибором — в таблице справа.

$d_1$	58	59	60	61	62
$M_1$	1	2	4	2	1

$d_2$	59	60	61	62
$M_2$	2	5	2	1

Сравнить дисперсии значений случайных величин $d_1$ и $d_2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для сравнения дисперсий двух случайных величин $d_1$ и $d_2$ необходимо вычислить их числовые значения. Дисперсия для дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

$D(X) = \overline{X^2} - (\overline{X})^2$,

где $\overline{X}$ — среднее значение (математическое ожидание) величины, а $\overline{X^2}$ — среднее значение квадратов величины.

Расчет дисперсии для первого прибора ($d_1$)

Сначала найдем общее количество измерений $n_1$:

$n_1 = 1 + 2 + 4 + 2 + 1 = 10$

Вычислим среднее значение диаметра $\overline{d_1}$:

$\overline{d_1} = \frac{\sum d_{1i} \cdot M_{1i}}{n_1} = \frac{58 \cdot 1 + 59 \cdot 2 + 60 \cdot 4 + 61 \cdot 2 + 62 \cdot 1}{10} = \frac{58 + 118 + 240 + 122 + 62}{10} = \frac{600}{10} = 60$ мм.

Теперь вычислим среднее значение квадратов диаметров $\overline{d_1^2}$:

$\overline{d_1^2} = \frac{\sum d_{1i}^2 \cdot M_{1i}}{n_1} = \frac{58^2 \cdot 1 + 59^2 \cdot 2 + 60^2 \cdot 4 + 61^2 \cdot 2 + 62^2 \cdot 1}{10}$

$\overline{d_1^2} = \frac{3364 \cdot 1 + 3481 \cdot 2 + 3600 \cdot 4 + 3721 \cdot 2 + 3844 \cdot 1}{10} = \frac{3364 + 6962 + 14400 + 7442 + 3844}{10} = \frac{36012}{10} = 3601.2$ мм$^2$.

Наконец, вычислим дисперсию $D(d_1)$:

$D(d_1) = \overline{d_1^2} - (\overline{d_1})^2 = 3601.2 - 60^2 = 3601.2 - 3600 = 1.2$ мм$^2$.

Ответ: $D(d_1) = 1.2$ мм$^2$.

Расчет дисперсии для второго прибора ($d_2$)

Найдем общее количество измерений $n_2$:

$n_2 = 2 + 5 + 2 + 1 = 10$

Вычислим среднее значение диаметра $\overline{d_2}$:

$\overline{d_2} = \frac{\sum d_{2i} \cdot M_{2i}}{n_2} = \frac{59 \cdot 2 + 60 \cdot 5 + 61 \cdot 2 + 62 \cdot 1}{10} = \frac{118 + 300 + 122 + 62}{10} = \frac{602}{10} = 60.2$ мм.

Теперь вычислим среднее значение квадратов диаметров $\overline{d_2^2}$:

$\overline{d_2^2} = \frac{\sum d_{2i}^2 \cdot M_{2i}}{n_2} = \frac{59^2 \cdot 2 + 60^2 \cdot 5 + 61^2 \cdot 2 + 62^2 \cdot 1}{10}$

$\overline{d_2^2} = \frac{3481 \cdot 2 + 3600 \cdot 5 + 3721 \cdot 2 + 3844 \cdot 1}{10} = \frac{6962 + 18000 + 7442 + 3844}{10} = \frac{36248}{10} = 3624.8$ мм$^2$.

Наконец, вычислим дисперсию $D(d_2)$:

$D(d_2) = \overline{d_2^2} - (\overline{d_2})^2 = 3624.8 - (60.2)^2 = 3624.8 - 3624.04 = 0.76$ мм$^2$.

Ответ: $D(d_2) = 0.76$ мм$^2$.

Сравнение дисперсий

Сравнивая полученные значения дисперсий, мы видим, что $1.2 > 0.76$. Следовательно, $D(d_1) > D(d_2)$.

Это означает, что разброс значений, полученных с помощью первого измерительного прибора, больше, чем у второго. Второй прибор является более точным, так как его измерения имеют меньшую дисперсию.

Ответ: Дисперсия значений случайной величины $d_1$ больше дисперсии значений случайной величины $d_2$ ($D(d_1) > D(d_2)$).