Номер 1225, страница 385 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 13. Статистика. Упражнения к главе 13 - номер 1225, страница 385.

Условие.

1225 Среди трёх совокупностей, представленных таблицами распределения, выявить ту совокупность, значения которой имеют меньший разброс данных около своего среднего.

Совокупность X:

X 1 2 4 5

M 2 1 3 2

Совокупность Y:

Y -2 0 1 2 3

M 2 3 2 2 1

Совокупность Z:

Z -5 -4 -2 3

M 1 3 3 1

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы определить, у какой из совокупностей значения имеют меньший разброс данных около своего среднего, необходимо вычислить для каждой из них одну из мер разброса, например, дисперсию. Совокупность с наименьшей дисперсией и будет искомой.

Дисперсия для выборочной совокупности, заданной таблицей распределения, вычисляется по формуле: $D = \overline{x^2} - (\bar{x})^2$, где $\bar{x}$ - выборочное среднее, а $\overline{x^2}$ - средний квадрат значений. Объем совокупности $N = \sum M_i$.

Расчет для совокупности X

Объём совокупности: $N_x = 2 + 1 + 3 + 2 = 8$.
Выборочное среднее: $\bar{x} = \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 2}{8} = \frac{2 + 2 + 12 + 10}{8} = \frac{26}{8} = 3.25$.
Средний квадрат значений: $\overline{x^2} = \frac{1^2 \cdot 2 + 2^2 \cdot 1 + 4^2 \cdot 3 + 5^2 \cdot 2}{8} = \frac{2 + 4 + 48 + 50}{8} = \frac{104}{8} = 13$.
Дисперсия: $D_x = \overline{x^2} - (\bar{x})^2 = 13 - (3.25)^2 = 13 - 10.5625 = 2.4375$.

Расчет для совокупности Y

Объём совокупности: $N_y = 2 + 3 + 2 + 2 + 1 = 10$.
Выборочное среднее: $\bar{y} = \frac{(-2) \cdot 2 + 0 \cdot 3 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1}{10} = \frac{-4 + 0 + 2 + 4 + 3}{10} = \frac{5}{10} = 0.5$.
Средний квадрат значений: $\overline{y^2} = \frac{(-2)^2 \cdot 2 + 0^2 \cdot 3 + 1^2 \cdot 2 + 2^2 \cdot 2 + 3^2 \cdot 1}{10} = \frac{8 + 0 + 2 + 8 + 9}{10} = \frac{27}{10} = 2.7$.
Дисперсия: $D_y = \overline{y^2} - (\bar{y})^2 = 2.7 - (0.5)^2 = 2.7 - 0.25 = 2.45$.

Расчет для совокупности Z

Объём совокупности: $N_z = 1 + 3 + 3 + 1 = 8$.
Выборочное среднее: $\bar{z} = \frac{(-5) \cdot 1 + (-4) \cdot 3 + (-2) \cdot 3 + 3 \cdot 1}{8} = \frac{-5 - 12 - 6 + 3}{8} = \frac{-20}{8} = -2.5$.
Средний квадрат значений: $\overline{z^2} = \frac{(-5)^2 \cdot 1 + (-4)^2 \cdot 3 + (-2)^2 \cdot 3 + 3^2 \cdot 1}{8} = \frac{25 + 48 + 12 + 9}{8} = \frac{94}{8} = 11.75$.
Дисперсия: $D_z = \overline{z^2} - (\bar{z})^2 = 11.75 - (-2.5)^2 = 11.75 - 6.25 = 5.5$.

Сравнение и вывод

Сравним полученные значения дисперсий:
$D_x = 2.4375$
$D_y = 2.45$
$D_z = 5.5$

Наименьшее значение дисперсии у совокупности X, так как $2.4375 < 2.45 < 5.5$.
Следовательно, значения совокупности X имеют наименьший разброс данных около своего среднего.

Ответ: совокупность X.