Страница 73, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Моро, Бантова

22. Дополни задачу недостающими данными и реши её. Из неисправного водопроводного крана в секунду капают 2 капли, а за 12 мин наполняется 1 полный стакан. Сколько литров воды может зря вылиться из такого крана в течение часа? в течение суток? (Считать, что в литре ▢ стаканов.)

22. Дополняем задачу недостающими данными:

Задача.

Из неисправного водопроводного крана в секунду капают 2 капли, а за 12 мин наполняется 1 полный стакан. Сколько литров воды может зря вылиться из такого крана в течение часа? в течение суток? (Считать в литре 5 стаканов.)

Пояснение:

Для того, чтобы узнать, сколько литров воды может зря вылиться из такого крана в течение часа, нужно найти, сколько раз по 12 мин в одном часе. Столько стаканов выльется из крана в течение часа. Считая, что в литре 5 стаканов, ответим на вопрос задачи.

Для того, чтобы узнать, сколько литров воды может зря вылиться из такого крана в течение суток, нужно количество воды выливаемой за 1 час умножить на 24. (в сутках 24 часа).

Решение (жирный шрифт) записываем в тетрадь:

1) 60 : 12 = 5 (ст.) = 1 (л) – выливается за 1 час .
2) 1 ∙ 24 = 24 (л) – выливается за сутки.
Ответ: 1 литр воды выливается за 1 час. 24 литра выльется за сутки.

Для решения задачи необходимо дополнить её недостающими данными, а именно, указать, сколько стаканов помещается в одном литре. Стандартный объём граненого стакана — 250 мл. В одном литре содержится 1000 мл. Таким образом, мы можем дополнить условие, исходя из того, что в одном литре помещается $1000 \div 250 = 4$ стакана.

Дополненное условие: (Считать, что в литре 4 стакана.)

Теперь решим задачу с этим дополнением. В условии также указано, что из крана капают 2 капли в секунду, но для расчётов удобнее использовать второе данное: 1 полный стакан наполняется за 12 минут.

в течение часа?

1. Сначала определим, сколько стаканов воды вытекает из крана за один час. В одном часе 60 минут. Так как один стакан наполняется за 12 минут, то за час наполнится:

$60 \text{ минут} \div 12 \text{ минут/стакан} = 5$ стаканов

2. Теперь переведем полученный объем из стаканов в литры. Мы приняли, что в 1 литре 4 стакана. Следовательно, объем вытекшей за час воды в литрах равен:

$5 \text{ стаканов} \div 4 \text{ стакана/литр} = 1,25$ литра

Ответ: за час из крана может вылиться 1,25 литра воды.

в течение суток?

1. В сутках 24 часа. Мы уже рассчитали, что за один час из крана выливается 1,25 литра воды. Чтобы найти объем воды за сутки, нужно умножить часовой расход на количество часов в сутках:

$1,25 \text{ литра/час} \times 24 \text{ часа} = 30$ литров

Альтернативный способ:

1. Рассчитаем, сколько стаканов воды вытечет за сутки. Мы знаем, что за час вытекает 5 стаканов:

$5 \text{ стаканов/час} \times 24 \text{ часа} = 120$ стаканов

2. Переведем это количество в литры:

$120 \text{ стаканов} \div 4 \text{ стакана/литр} = 30$ литров

Ответ: за сутки из такого крана может вылиться 30 литров воды.

23. Какую площадь занимает картофельное поле, если одна пятая часть этой площади составляет 200 м²?

23. Сделаем схематический чертёж задачи:

Пояснение:

Рассмотрев чертёж, видим, что всё поле – это 5 частей по 200 м², поэтому для того, чтобы узнать, какую площадь занимает картофельное поле, нужно 200 умножить на 5.

Решение (жирный шрифт) записываем в тетрадь:

200 ∙ 5 = 1 000 (м²)
Ответ: 1 000 квадратных метров занимает картофельное поле.

Чтобы найти общую площадь картофельного поля, нам необходимо определить целое по его известной части.

Обозначим искомую общую площадь поля буквой $S$.

Согласно условию задачи, одна пятая часть этой площади составляет 200 м?. Это можно записать в виде уравнения:

$ \frac{1}{5} \cdot S = 200 \text{ м}^2 $

Для того чтобы найти всю площадь $S$, нужно известную нам часть (200 м?) умножить на 5, так как вся площадь состоит из пяти таких частей.

$ S = 200 \times 5 $

Выполним вычисление:

$ S = 1000 \text{ м}^2 $

Следовательно, общая площадь картофельного поля равна 1000 квадратных метров.

Ответ: 1000 м?.

24. Какие числа пропущены в таблице?

24.

1 см? = ? мм?
Чтобы перевести квадратные сантиметры в квадратные миллиметры, необходимо знать соотношение линейных единиц: в одном сантиметре содержится 10 миллиметров ($1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$). Квадратный сантиметр ($1 \text{ см}^2$) представляет собой площадь квадрата со стороной 1 см. Чтобы найти площадь этого квадрата в квадратных миллиметрах, нужно умножить длину его сторон, выраженную в миллиметрах: $10 \text{ мм} \times 10 \text{ мм} = 100 \text{ мм}^2$.
Ответ: $1 \text{ см}^2 = 100 \text{ мм}^2$.

1 дм? = ? см?
Перевод квадратных дециметров в квадратные сантиметры выполняется аналогично. В одном дециметре содержится 10 сантиметров ($1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$). Площадь квадрата со стороной 1 дм ($1 \text{ дм}^2$) в квадратных сантиметрах будет равна: $10 \text{ см} \times 10 \text{ см} = 100 \text{ см}^2$.
Ответ: $1 \text{ дм}^2 = 100 \text{ см}^2$.

1 м? = ? дм?
Для перевода квадратных метров в квадратные дециметры используем соотношение: в одном метре содержится 10 дециметров ($1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$). Площадь квадрата со стороной 1 м ($1 \text{ м}^2$) в квадратных дециметрах составляет: $10 \text{ дм} \times 10 \text{ дм} = 100 \text{ дм}^2$.
Ответ: $1 \text{ м}^2 = 100 \text{ дм}^2$.

1 км? = ? м?
В одном километре содержится 1000 метров ($1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$). Квадратный километр ($1 \text{ км}^2$) — это площадь квадрата со стороной 1 км. Чтобы выразить эту площадь в квадратных метрах, необходимо перемножить длины сторон, выраженные в метрах: $1000 \text{ м} \times 1000 \text{ м} = 1\;000\;000 \text{ м}^2$.
Ответ: $1 \text{ км}^2 = 1\;000\;000 \text{ м}^2$.

25. Запиши вычисления столбиком.

45 км 530 м + 37 км 470 м
24 км 040 м − 9 км 008 м
32 т 820 кг − 8 т 950 кг
3 ч 15 мин − 45 мин

25. Пояснение:

Чтобы найти сумму или разность величин, состоящих из двух единиц измерения, можно сначала привести их к одной единице измерения, а потом произвести нужные вычисления.

45 км 530 м + 37 км 470 м = 83 км
45 км 530 м = 45 530 м
37 км 470 м = 37 470 м
83 000 м = 83 км

24 км 040 м − 9 км 008 м = 15 км 032 м
24 км 040 м = 24 040 м
9 км 008 м = 9 008 м
15032 м = 15 км 032 м

32 т 820 кг − 8 т 950 кг = 23 т 870 кг
32 т 820 кг = 32 820 кг
8 т 950 кг = 8 950 кг
23 т 870 кг = 23 870 кг

3 ч 15 мин − 45 мин = 2 ч 30 мин
3 ч 15 мин = 195 мин
195 мин − 45 мин = 150 мин
150 мин = 2 ч 30 мин

45 км 530 м + 37 км 470 м

Чтобы решить данный пример, нужно сложить единицы измерения отдельно: метры с метрами, километры с километрами. Запишем вычисление в столбик.
45 км 530 м+ 37 км 470 м---------------- 82 км 1000 м
Мы знаем, что в одном километре содержится 1000 метров ($1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$). Поэтому мы можем преобразовать 1000 метров в 1 километр.
Теперь добавим этот километр к сумме километров: $82 \text{ км} + 1 \text{ км} = 83 \text{ км}$.
Ответ: 83 км.

32 т 820 кг – 8 т 950 кг

При вычитании мы видим, что из 820 кг нельзя вычесть 950 кг, так как $820 < 950$. Поэтому необходимо "занять" 1 тонну из 32 тонн.
В одной тонне 1000 килограммов ($1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$).
Преобразуем исходное значение: $32 \text{ т} \ 820 \text{ кг} = 31 \text{ т} + 1 \text{ т} + 820 \text{ кг} = 31 \text{ т} + 1000 \text{ кг} + 820 \text{ кг} = 31 \text{ т} \ 1820 \text{ кг}$.
Теперь можно выполнить вычитание в столбик:
31 т 1820 кг- 8 т 950 кг---------------- 23 т 870 кг
Вычитаем килограммы: $1820 \text{ кг} - 950 \text{ кг} = 870 \text{ кг}$.
Вычитаем тонны: $31 \text{ т} - 8 \text{ т} = 23 \text{ т}$.
Ответ: 23 т 870 кг.

24 км 040 м – 9 км 008 м

Для решения этого примера вычтем метры из метров и километры из километров. Запишем вычисления столбиком, выравнивая числа по разрядам.
24 км 040 м- 9 км 008 м---------------- 15 км 032 м
Выполняем вычитание по частям:
Метры: $40 \text{ м} - 8 \text{ м} = 32 \text{ м}$.
Километры: $24 \text{ км} - 9 \text{ км} = 15 \text{ км}$.
Ответ: 15 км 032 м.

3 ч 15 мин – 45 мин

Здесь из 15 минут нужно вычесть 45 минут. Так как $15 < 45$, это невозможно без преобразования. "Займем" 1 час из 3 часов.
Мы знаем, что в одном часе 60 минут ($1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$).
Преобразуем исходное значение: $3 \text{ ч} \ 15 \text{ мин} = 2 \text{ ч} + 1 \text{ ч} + 15 \text{ мин} = 2 \text{ ч} + 60 \text{ мин} + 15 \text{ мин} = 2 \text{ ч} \ 75 \text{ мин}$.
Теперь выполним вычитание в столбик:
2 ч 75 мин- 0 ч 45 мин-------------- 2 ч 30 мин
Вычитаем минуты: $75 \text{ мин} - 45 \text{ мин} = 30 \text{ мин}$.
Оставшиеся часы: 2 ч.
Ответ: 2 ч 30 мин.

26. Из двух одинаковых квадратов составили прямоугольник со сторонами 3 см и 1 см 5 мм. Сделай к задаче чертёж. Вырази длины сторон прямоугольника в миллиметрах и вычисли периметр этого прямоугольника и каждого квадрата.

26. Сделаем к задаче чертёж:

Выразим длины сторон прямоугольника в миллиметрах:

3 см = 30 мм
1 см 5 мм − 15 мм

Вычисляем периметр этого прямоугольника и каждого квадрата.

Пояснение:

Периметр – это сумма длин всех сторон.

Чтобы найти периметр прямоугольника, нужно длину сложить с шириной и сумму умножить на 2, так как у прямоугольника противоположные стороны равны.

Для того, чтобы найти периметр квадрата, нужно длину стороны умножить на 4, так как у квадрата все стороны равны, поэтому сложение заменяем умножением.

Решение (жирный шрифт) записываем в тетрадь;

(30 + 15) ∙ 2 = 90 (мм) = 9 (см) – периметр прямоугольника;
15 ∙ 4 = 60 (мм) = 6 (см) – периметр квадрата.
Ответ: 9 сантиметров периметр прямоугольника, 6 сантиметров периметр каждого квадрата.

Сделай к задаче чертёж.

По условию задачи прямоугольник составлен из двух одинаковых квадратов. Это значит, что одна из сторон прямоугольника равна стороне квадрата, а другая сторона — удвоенной стороне квадрата. Данные стороны прямоугольника: 3 см и 1 см 5 мм. Сначала переведем их в миллиметры: 3 см = 30 мм, а 1 см 5 мм = 15 мм. Так как $30 = 2 \times 15$, то меньшая сторона прямоугольника (15 мм) равна стороне каждого квадрата, а большая сторона (30 мм) — это сумма сторон двух квадратов, сложенных вместе.

Таким образом, мы имеем два квадрата со стороной 15 мм, которые, будучи приложенными друг к другу, образуют прямоугольник со сторонами 30 мм и 15 мм. Чертёж выглядит следующим образом:

Вырази длины сторон прямоугольника в миллиметрах

Чтобы выразить длины сторон в миллиметрах, воспользуемся соотношением $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
Длина первой стороны: $3 \text{ см} = 3 \times 10 \text{ мм} = 30 \text{ мм}$.
Длина второй стороны: $1 \text{ см } 5 \text{ мм} = 10 \text{ мм} + 5 \text{ мм} = 15 \text{ мм}$.
Ответ: стороны прямоугольника равны 30 мм и 15 мм.

Вычисли периметр этого прямоугольника

Периметр прямоугольника ($P_{пр}$) находится по формуле $P = 2 \times (a+b)$, где $a$ и $b$ — длины его сторон.
Подставим известные значения сторон в миллиметрах: $a = 30 \text{ мм}$, $b = 15 \text{ мм}$.
$P_{пр} = 2 \times (30 \text{ мм} + 15 \text{ мм}) = 2 \times 45 \text{ мм} = 90 \text{ мм}$.
Ответ: периметр прямоугольника равен 90 мм.

Вычисли периметр каждого квадрата

Сторона каждого квадрата ($a_{кв}$) равна меньшей стороне прямоугольника, то есть $a_{кв} = 15 \text{ мм}$.
Периметр квадрата ($P_{кв}$) находится по формуле $P = 4 \times a$, где $a$ — длина его стороны.
$P_{кв} = 4 \times 15 \text{ мм} = 60 \text{ мм}$.
Поскольку квадраты одинаковые, периметр каждого из них равен 60 мм.
Ответ: периметр каждого квадрата равен 60 мм.

27. Начерти такие фигуры в тетради. В фигуре 1 найди одну девятую долю и закрась четыре такие доли, а в фигуре 2 закрась семь шестнадцатых долей. Найди площадь незакрашенной части фигуры 1.

27. Чертим фигуры в тетрадь.

Находим площадь не закрашенной части фигуры 1.

Пояснение:

Для того, чтобы узнать площадь не закрашенной части фигуры 1, нужно найти, какая часть закрашена и чему равна площадь всего квадрата, зная, что 1 часть равна 1 см². Потом от всей площади выесть площадь закрашенной фигуры.

Можно узнать площадь не закрашенной части фигуры 1 по-другому. Сначала найти, сколько частей не закрашено. Потом умножить площадь одной части (1 см²) на количество не закрашенных частей.

Решение (жирный шрифт) записываем в тетрадь один из выбранных способов:

Способ 1.

1) 1 ∙ 4 = 4 см² - площадь закрашенной части;
2) 3 ∙ 3 = 9 см² - площадь всего квадрата;
3) 9 − 4 = 5 см² - площадь не закрашенной части фигуры 1.
Ответ: 5 см² площадь не закрашенной части фигуры 1.

Способ 2.

1) 9 – 4 = 5 (ч.) – не закрашено;
2) 1 ∙ 5 см² - площадь не закрашенной части фигуры 1
Ответ: 5 см² площадь не закрашенной части фигуры 1.

Поскольку в задаче не предоставлены сами фигуры, мы будем исходить из наиболее вероятных предположений, основанных на упоминаемых долях.

В фигуре 1 найди одну девятую долю и закрась четыре такие доли

Исходя из того, что речь идет о девятых долях, можно предположить, что фигура 1 представляет собой квадрат, разделенный на 9 равных частей (например, квадрат 3x3 клетки).
Одна девятая доля ($1/9$) такой фигуры — это одна из этих 9 равных частей (одна клетка).
Задание требует закрасить четыре такие доли. Это означает, что нужно закрасить 4 из 9 клеток. Закрашенная часть составит $4/9$ от всей фигуры.

Ответ: Одна девятая доля фигуры 1 — это одна из 9 равных частей, из которых она состоит. Необходимо закрасить 4 такие части.

а в фигуре 2 закрась семь шестнадцатых долей

Аналогично, для фигуры 2 речь идет о шестнадцатых долях. Можно предположить, что это квадрат, разделенный на 16 равных частей (например, квадрат 4x4 клетки).
Закрасить семь шестнадцатых долей ($7/16$) означает, что нужно закрасить 7 из 16 равных частей этой фигуры.

Ответ: Необходимо закрасить 7 из 16 равных частей, на которые разделена фигура 2.

Найди площадь незакрашенной части фигуры 1

1. Вся фигура 1 состоит из 9 равных долей.
2. Согласно заданию, закрашено 4 доли.
3. Найдем количество незакрашенных долей. Для этого вычтем из общего количества долей количество закрашенных:
$9 - 4 = 5$ (долей)
4. Таким образом, 5 долей из 9 остались незакрашенными. Это составляет $5/9$ от всей фигуры.
5. Чтобы найти конкретное значение площади, необходимо знать площадь одной доли или всей фигуры. Поскольку эти данные в задаче отсутствуют, примем площадь одной доли за 1 условную квадратную единицу ($1 \text{ кв. ед.}$).
6. Тогда площадь незакрашенной части будет равна количеству незакрашенных долей, умноженному на площадь одной доли:
$S_{незакр.} = 5 \times 1 \text{ кв. ед.} = 5 \text{ кв. ед.}$

Ответ: Площадь незакрашенной части фигуры 1 равна 5 квадратным единицам (при условии, что площадь одной доли равна 1 квадратной единице).

1. Как называются числа и соответствующие выражения при сложении? при вычитании?

1. При сложении: первое слагаемое, второе слагаемое, сумма.

При вычитании: уменьшаемое, вычитаемое, разность.

при сложении?

При выполнении операции сложения участвуют несколько компонентов. Числа, которые складываются, называются слагаемыми. Результат сложения, а также само математическое выражение, обозначающее эту операцию, называется суммой.

Например, в выражении $a + b = c$:
• $a$ – это первое слагаемое;
• $b$ – это второе слагаемое;
• $a + b$ – это выражение, которое называется суммой;
• $c$ – это результат, или значение суммы.

Ответ: Числа при сложении называются слагаемыми, а соответствующее выражение и его результат — суммой.

при вычитании?

При выполнении операции вычитания компоненты называются по-другому. Число, из которого вычитают, называется уменьшаемым. Число, которое вычитают, называется вычитаемым. Результат вычитания, а также само выражение, обозначающее эту операцию, называется разностью.

Например, в выражении $a - b = c$:
• $a$ – это уменьшаемое;
• $b$ – это вычитаемое;
• $a - b$ – это выражение, которое называется разностью;
• $c$ – это результат, или значение разности.

Ответ: При вычитании число, из которого вычитают, называется уменьшаемым, число, которое вычитают, — вычитаемым, а соответствующее выражение и его результат — разностью.

2. Какие свойства сложения ты знаешь?

2. Свойства сложения:

Переместительное свойство сложения – от перестановки мест слагаемых значение суммы не меняется a + b = b + a.

Сочетательное свойство сложения – можно складывать слагаемые в любом порядке. Значение суммы от этого не поменяется (Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье нужно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.) (a + b) + c = a + (b + c)

Свойство нуля при сложении – если к числу прибавить 0, получится тоже самое число. a + 0 = 0 + a = a.

Свойство единицы при сложении – если к числу прибавить 1, получится следующее при счёте число. Ели от числа вычесть 1, то получится предыдущее при счёте число.

В математике существуют три основных свойства сложения, которые помогают упрощать вычисления и понимать структуру этой операции.

Переместительное свойство сложения

Это свойство, также известное как коммутативный закон, утверждает, что результат сложения двух чисел не зависит от их порядка. То есть, меняя местами слагаемые, мы получаем ту же самую сумму.

В виде формулы это свойство записывается так: $a + b = b + a$.

Например, если мы сложим 8 и 15, получим 23. Если мы поменяем их местами и сложим 15 и 8, результат останется тем же: $8 + 15 = 23$ и $15 + 8 = 23$.

Ответ: от перестановки мест слагаемых сумма не меняется.

Сочетательное свойство сложения

Это свойство, также известное как ассоциативный закон, применяется при сложении трех и более чисел. Оно гласит, что порядок выполнения сложения (то, как мы группируем слагаемые) не влияет на конечный результат. Чтобы прибавить число к сумме двух других чисел, можно сначала сложить первое и второе числа и к результату прибавить третье, либо сложить второе и третье числа и к их результату прибавить первое.

Математически это выглядит так: $(a + b) + c = a + (b + c)$.

Например, $(7 + 3) + 5 = 10 + 5 = 15$. Если сгруппировать иначе, $7 + (3 + 5) = 7 + 8 = 15$. Это свойство часто используется для удобства вычислений, например, чтобы сгруппировать числа, которые в сумме дают круглое число (как 7 и 3 в примере).

Ответ: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.

Свойство сложения с нулём

Это свойство определяет особую роль числа ноль в операции сложения. Если к любому числу прибавить ноль, то число не изменится. Поэтому ноль называют нейтральным элементом относительно сложения.

Формула этого свойства: $a + 0 = a$.

В силу переместительного свойства, верно и обратное: $0 + a = a$.

Например, $124 + 0 = 124$.

Ответ: если к любому числу прибавить ноль, то получится то же самое число.

3. Что получится, если из суммы двух слагаемых вычесть одно слагаемое? если к вычитаемому прибавить разность? если из уменьшаемого вычесть разность?

3. Если из суммы двух слагаемых вычесть одно слагаемое, то получится другое слагаемое.

Если к вычитаемому прибавить разность, то получится уменьшаемое.

Если из уменьшаемого вычесть разность, то получится вычитаемое.

Что получится, если из суммы двух слагаемых вычесть одно слагаемое?
Обозначим два слагаемых буквами $a$ и $b$. Их сумма будет равна $a + b$. Если из этой суммы вычесть одно из слагаемых, например $a$, мы получим следующее выражение: $(a + b) - a$. Согласно свойствам сложения и вычитания, мы можем перегруппировать члены выражения: $a - a + b$. Поскольку любое число, вычтенное из самого себя, равно нулю ($a - a = 0$), то выражение упрощается до $0 + b$, что равно $b$. Таким образом, в результате вычитания одного слагаемого из суммы двух слагаемых мы получаем второе слагаемое.
Ответ: получится второе слагаемое.

если к вычитаемому прибавить разность?
Рассмотрим стандартную операцию вычитания, которую можно записать в виде формулы: $a - b = c$. В этой формуле $a$ — это уменьшаемое, $b$ — вычитаемое, а $c$ — разность. Вопрос заключается в том, что получится, если к вычитаемому ($b$) прибавить разность ($c$). Запишем это в виде выражения: $b + c$. Мы знаем, что $c = a - b$. Подставим это значение $c$ в наше выражение: $b + (a - b)$. Раскроем скобки и перегруппируем члены: $b - b + a$. Поскольку $b - b = 0$, то результатом будет $a$, то есть уменьшаемое.
Ответ: получится уменьшаемое.

если из уменьшаемого вычесть разность?
Используем те же обозначения, что и в предыдущем пункте: $a - b = c$, где $a$ — уменьшаемое, $b$ — вычитаемое, и $c$ — разность. Нам нужно из уменьшаемого ($a$) вычесть разность ($c$). Запишем это как выражение: $a - c$. Подставим в это выражение значение $c$ из исходной формулы: $a - (a - b)$. Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус, нужно поменять знаки всех членов внутри скобок на противоположные: $a - a + b$. Так как $a - a = 0$, результатом будет $b$, то есть вычитаемое.
Ответ: получится вычитаемое.

4. Какие ты знаешь правила о порядке выполнения действий в выражениях без скобок? в выражениях со скобками?

4. Порядок действий в выражениях:

При вычислении числовых выражений сначала выполняют действия умножения и деления, а затем сложения и вычитания, слева направо. При наличии скобок вычисляют сначала значение выражения в них.

Если выражение содержит несколько пар скобок, то сначала находят значения выражений в скобках (слева направо), а затем выполняют действия по первым двум правилам.

в выражениях без скобок?

В выражениях без скобок установлен строгий порядок выполнения арифметических действий. Действия делятся на две ступени:

• Действия второй ступени: умножение и деление.
• Действия первой ступени: сложение и вычитание.

Правило выполнения действий следующее:

1. Сначала выполняются по порядку (слева направо) действия второй ступени — умножение и деление.
2. Затем выполняются по порядку (слева направо) действия первой ступени — сложение и вычитание.

Пример:

Рассчитаем значение выражения $40 - 18 : 2 \cdot 3 + 5$.

1. Выполняем первое действие второй ступени (деление): $18 : 2 = 9$.
2. Выполняем второе действие второй ступени (умножение): $9 \cdot 3 = 27$.
3. Выражение принимает вид: $40 - 27 + 5$.
4. Теперь выполняем действия первой ступени слева направо. Сначала вычитание: $40 - 27 = 13$.
5. Затем сложение: $13 + 5 = 18$.

Таким образом, $40 - 18 : 2 \cdot 3 + 5 = 18$.

Ответ:

в выражениях со скобками?

Если в выражении есть скобки, то они имеют наивысший приоритет. Порядок действий изменяется следующим образом:

1. Сначала выполняются все действия, находящиеся внутри скобок.
2. Если внутри скобок несколько действий, то для них применяется тот же порядок, что и для выражений без скобок: сначала умножение и деление (слева направо), а затем сложение и вычитание (слева направо).
3. После того как все действия в скобках выполнены и получено одно число, выполняются оставшиеся действия по общим правилам (сначала умножение/деление, затем сложение/вычитание).

Пример:

Рассчитаем значение выражения $50 + (40 - 3 \cdot 6) : 2$.

1. Начинаем с действий в скобках. Внутри скобок $(40 - 3 \cdot 6)$ есть вычитание и умножение. Сначала выполняем умножение: $3 \cdot 6 = 18$.
2. Теперь выполняем вычитание в скобках: $40 - 18 = 22$.
3. Выражение принимает вид: $50 + 22 : 2$.
4. Теперь выполняем оставшиеся действия по общим правилам. Сначала деление: $22 : 2 = 11$.
5. Затем сложение: $50 + 11 = 61$.

Таким образом, $50 + (40 - 3 \cdot 6) : 2 = 61$.

Ответ:

5. Как можно проверить сложение? вычитание?

5. Сложение можно проверить вычитанием – из суммы вычесть одно из слагаемых, должно получится второе слагаемое. Сложение нескольких слагаемых, можно проверить сложением, используя переместительное свойство.

Вычитание проверяем сложением – к разности прибавить вычитаемое, должно получиться уменьшаемое. Или вычитанием – из уменьшаемого отнять разность, должно получиться вычитаемое.

сложение?Сложение проверяется с помощью вычитания, так как это взаимно обратные математические операции. Чтобы убедиться в правильности результата сложения (суммы), нужно из этой суммы вычесть одно из слагаемых. Если в результате получится второе слагаемое, то действие было выполнено верно.

Вспомним компоненты сложения: слагаемое + слагаемое = сумма.

Правило проверки можно записать в виде формул:

• сумма - первое слагаемое = второе слагаемое
• сумма - второе слагаемое = первое слагаемое

Например, решим пример: $28 + 14 = 42$.
Для проверки выполним вычитание:
1. Из суммы (42) вычтем первое слагаемое (28): $42 - 28 = 14$. Получилось второе слагаемое (14).
2. Из суммы (42) вычтем второе слагаемое (14): $42 - 14 = 28$. Получилось первое слагаемое (28).
Оба варианта проверки показывают, что сложение выполнено правильно.

В общем виде: если верно, что $a + b = c$, то для проверки должны быть верны равенства $c - a = b$ и $c - b = a$.

Ответ: Чтобы проверить сложение, нужно из суммы вычесть одно из слагаемых. Если в результате получится другое слагаемое, то сложение выполнено верно.

вычитание?Вычитание можно проверить двумя способами: сложением (так как это обратная операция) или другим вычитанием.

Вспомним компоненты вычитания: уменьшаемое - вычитаемое = разность.

Способ 1: Проверка сложением
Чтобы проверить вычитание, нужно к разности прибавить вычитаемое. Если в результате получится уменьшаемое, значит, вычитание выполнено верно.
Правило: разность + вычитаемое = уменьшаемое.
Например, решим пример: $75 - 31 = 44$.
Проверяем: к разности (44) прибавляем вычитаемое (31): $44 + 31 = 75$. Результат совпал с уменьшаемым (75). Следовательно, пример решен правильно.
В общем виде: если верно, что $a - b = c$, то для проверки должно быть верно равенство $c + b = a$.

Способ 2: Проверка вычитанием
Чтобы проверить вычитание, можно из уменьшаемого вычесть разность. Если в результате получится вычитаемое, то действие выполнено верно.
Правило: уменьшаемое - разность = вычитаемое.
Возьмем тот же пример: $75 - 31 = 44$.
Проверяем: из уменьшаемого (75) вычитаем разность (44): $75 - 44 = 31$. Результат совпал с вычитаемым (31). Следовательно, пример решен правильно.
В общем виде: если верно, что $a - b = c$, то для проверки должно быть верно равенство $a - c = b$.

Ответ: Чтобы проверить вычитание, можно к разности прибавить вычитаемое (в результате должно получиться уменьшаемое) или из уменьшаемого вычесть разность (в результате должно получиться вычитаемое).

6. Чему равна сумма двух слагаемых, если одно из них равно нулю? разность, если вычитаемое равно нулю?

6. Сумма двух слагаемых, если одно из них равно нулю, равна другому слагаемому неравному нулю.

Разность, если вычитаемое равно нулю равна уменьшаемому.

Чему равна сумма двух слагаемых, если одно из них равно нулю?

Сумма — это результат сложения двух чисел, которые называются слагаемыми. Обозначим одно слагаемое переменной $a$. По условию, второе слагаемое равно нулю. Нам нужно найти их сумму.

Выражение для суммы будет выглядеть так: $a + 0$.

Существует основное свойство сложения, которое гласит, что прибавление нуля к любому числу не изменяет это число. Это свойство называется свойством нуля при сложении. Таким образом:

$a + 0 = a$

Это означает, что сумма будет равна тому слагаемому, которое не равно нулю.

Ответ: Если одно из слагаемых равно нулю, то сумма равна другому слагаемому.

разность, если вычитаемое равно нулю?

Разность — это результат вычитания одного числа (вычитаемого) из другого (уменьшаемого). Обозначим уменьшаемое переменной $a$. По условию, вычитаемое равно нулю. Нам нужно найти их разность.

Выражение для разности будет выглядеть так: $a - 0$.

По аналогии со сложением, существует свойство вычитания нуля, которое гласит, что если из любого числа вычесть ноль, то число не изменится. Таким образом:

$a - 0 = a$

Это означает, что разность будет равна уменьшаемому.

Ответ: Если вычитаемое равно нулю, то разность равна уменьшаемому.

17 370 : 45 · 67
Выражение содержит действия деления и умножения, которые имеют одинаковый приоритет. Поэтому вычисления выполняются последовательно слева направо.
1. Сначала выполним деление: $17 370 : 45$.
Чтобы разделить $17370$ на $45$, будем делить в столбик.
- Первое неполное делимое $173$. $173 : 45 = 3$. Остаток: $173 - 45 \cdot 3 = 173 - 135 = 38$.
- Сносим следующую цифру $7$, получаем $387$. $387 : 45 = 8$. Остаток: $387 - 45 \cdot 8 = 387 - 360 = 27$.
- Сносим следующую цифру $0$, получаем $270$. $270 : 45 = 6$. Остаток: $270 - 45 \cdot 6 = 270 - 270 = 0$.
Таким образом, $17 370 : 45 = 386$.
2. Теперь выполним умножение: $386 \cdot 67$.
Умножим $386$ на $67$ в столбик:
$386 \cdot 7 = 2702$.
$386 \cdot 60 = 23160$.
$2702 + 23160 = 25862$.
Таким образом, $386 \cdot 67 = 25 862$.
Ответ: 25862

36 075 : 37 · 25
Вычисления выполняются последовательно слева направо, так как деление и умножение имеют равный приоритет.
1. Первое действие — деление: $36 075 : 37$.
- Первое неполное делимое $360$. $360 : 37 = 9$. Остаток: $360 - 37 \cdot 9 = 360 - 333 = 27$.
- Сносим $7$, получаем $277$. $277 : 37 = 7$. Остаток: $277 - 37 \cdot 7 = 277 - 259 = 18$.
- Сносим $5$, получаем $185$. $185 : 37 = 5$. Остаток: $185 - 37 \cdot 5 = 185 - 185 = 0$.
Результат деления: $36 075 : 37 = 975$.
2. Второе действие — умножение: $975 \cdot 25$.
$975 \cdot 25 = 975 \cdot (20 + 5) = 975 \cdot 20 + 975 \cdot 5 = 19500 + 4875 = 24375$.
Результат умножения: $975 \cdot 25 = 24 375$.
Ответ: 24375

1 131 : 13
Для решения этого примера необходимо выполнить одно действие — деление.
1. Разделим $1131$ на $13$ в столбик.
- Первое неполное делимое $113$. $113 : 13 = 8$. Остаток: $113 - 13 \cdot 8 = 113 - 104 = 9$.
- Сносим следующую цифру $1$, получаем $91$. $91 : 13 = 7$. Остаток: $91 - 13 \cdot 7 = 91 - 91 = 0$.
Таким образом, $1 131 : 13 = 87$.
Ответ: 87

540 · 72 : 40 : 9
Все действия (умножение и деление) имеют одинаковый приоритет, поэтому выполняем их последовательно слева направо.
1. Первое действие — умножение: $540 \cdot 72$.
$540 \cdot 72 = 38 880$.
2. Второе действие — деление: $38 880 : 40$.
Это то же самое, что $3888 : 4$.
$3888 : 4 = 972$.
3. Третье действие — деление: $972 : 9$.
$972 : 9 = 108$.
Ответ: 108

39 900 : 25 · 12
Выполняем действия в порядке их следования, слева направо.
1. Сначала делим $39 900$ на $25$.
- $39 : 25 = 1$. Остаток $14$.
- Сносим $9$, получаем $149$. $149 : 25 = 5$. Остаток $149 - 125 = 24$.
- Сносим $0$, получаем $240$. $240 : 25 = 9$. Остаток $240 - 225 = 15$.
- Сносим $0$, получаем $150$. $150 : 25 = 6$. Остаток $0$.
Итак, $39 900 : 25 = 1596$.
2. Теперь умножаем результат на $12$: $1596 \cdot 12$.
$1596 \cdot 10 = 15960$.
$1596 \cdot 2 = 3192$.
$15960 + 3192 = 19152$.
Таким образом, $1596 \cdot 12 = 19 152$.
Ответ: 19152

1 092 : 14
Нужно выполнить деление числа $1092$ на $14$.
1. Выполним деление в столбик.
- Первое неполное делимое $109$. $109 : 14 = 7$. Остаток: $109 - 14 \cdot 7 = 109 - 98 = 11$.
- Сносим следующую цифру $2$, получаем $112$. $112 : 14 = 8$. Остаток: $112 - 14 \cdot 8 = 112 - 112 = 0$.
Результат деления: $1 092 : 14 = 78$.
Ответ: 78

19. Квартал − четвёртая часть года. Сколько месяцев в одном квартале? Сколько дней в последнем квартале года?

Сколько месяцев в одном квартале?

В одном году 12 месяцев. По определению, квартал – это четвёртая часть года, то есть $1/4$ года. Чтобы найти количество месяцев в одном квартале, необходимо общее число месяцев в году разделить на 4.
Выполним расчёт: $12 \text{ месяцев} \div 4 = 3 \text{ месяца}$.

Ответ: в одном квартале 3 месяца.

Сколько дней в последнем квартале года?

Последний квартал года — это четвёртый квартал. Он включает в себя последние три месяца года: октябрь, ноябрь и декабрь.
Посчитаем количество дней в каждом из этих месяцев:
- в октябре 31 день;
- в ноябре 30 дней;
- в декабре 31 день.
Чтобы найти общее количество дней в последнем квартале, нужно сложить количество дней в этих трёх месяцах. Это количество не зависит от того, високосный год или нет.
Выполним расчёт: $31 + 30 + 31 = 92 \text{ дня}$.

Ответ: в последнем квартале года 92 дня.

20. На изготовление 10 пар детских ботинок потребовалось 36 дм² кожи. Сколько квадратных метров кожи потребуется на 1 000 пар таких ботинок?

Для решения этой задачи сначала определим, во сколько раз 1 000 пар ботинок больше, чем 10 пар. Для этого выполним деление:

$1000 \div 10 = 100$

Это означает, что для изготовления 1 000 пар ботинок потребуется в 100 раз больше кожи, чем для 10 пар.

Теперь вычислим общее количество кожи в квадратных дециметрах, умножив исходное количество на 100:

$36 \text{ дм}^2 \times 100 = 3600 \text{ дм}^2$

По условию задачи, ответ необходимо дать в квадратных метрах. Для этого необходимо перевести квадратные дециметры в квадратные метры. Нам известно соотношение между этими единицами площади:

$1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$

Следовательно, 1 квадратный метр равен:

$1 \text{ м}^2 = 1 \text{ м} \times 1 \text{ м} = 10 \text{ дм} \times 10 \text{ дм} = 100 \text{ дм}^2$

Чтобы перевести $3600 \text{ дм}^2$ в квадратные метры, разделим это значение на 100:

$3600 \text{ дм}^2 \div 100 = 36 \text{ м}^2$

Ответ: на 1 000 пар таких ботинок потребуется 36 м? кожи.

21. 1) От двух пристаней, находящихся на расстоянии 510 км, отплыли в 7 ч навстречу друг другу катер и моторная лодка. Встреча произошла в 24 ч этого же дня. Катер шёл со скоростью 19 км/ч. С какой скоростью шла лодка?

2) На каком расстоянии друг от друга находились катер и лодка через 3 ч после встречи?

Сделай по задаче схематический чертёж и реши задачу.

Схематический чертёж:

Изобразим движение катера и лодки на отрезке, где концы отрезка — это пристани.

Пристань 1 <----------------------- 510 км -----------------------> Пристань 2
Катер (V?=19 км/ч) ---> (Место встречи) <--- Лодка (V?)

Катер и лодка движутся навстречу друг другу из двух пристаней. Пройдя общее расстояние в 510 км, они встречаются, а затем продолжают движение, удаляясь друг от друга.

1) С какой скоростью шла лодка?

1. Сначала определим время, которое катер и лодка были в пути до встречи. Они отплыли в 7 часов, а встретились в 24 часа (или в 00:00 следующего дня).

$t_{встречи} = 24 \text{ ч} - 7 \text{ ч} = 17 \text{ ч}$

2. За это время они вместе преодолели всё расстояние между пристанями. Их общая скорость, или скорость сближения ($V_{сближения}$), равна расстоянию, деленному на время.

$V_{сближения} = S / t_{встречи} = 510 \text{ км} / 17 \text{ ч} = 30 \text{ км/ч}$

3. Скорость сближения при движении навстречу — это сумма скоростей катера и лодки.

$V_{сближения} = V_{катера} + V_{лодки}$

4. Теперь, зная скорость сближения (30 км/ч) и скорость катера (19 км/ч), можем найти скорость моторной лодки.

$V_{лодки} = V_{сближения} - V_{катера} = 30 \text{ км/ч} - 19 \text{ км/ч} = 11 \text{ км/ч}$

Ответ: скорость моторной лодки составляла 11 км/ч.

2) На каком расстоянии друг от друга находились катер и лодка через 3 ч после встречи?

1. После встречи катер и лодка продолжили движение в своих направлениях, начав удаляться друг от друга. Скорость их удаления ($V_{удаления}$) равна сумме их скоростей, то есть она равна скорости сближения.

$V_{удаления} = V_{катера} + V_{лодки} = 19 \text{ км/ч} + 11 \text{ км/ч} = 30 \text{ км/ч}$

2. Чтобы найти расстояние, на которое они удалились друг от друга за 3 часа после встречи, нужно умножить скорость удаления на это время.

$S_{после} = V_{удаления} \times t_{после} = 30 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 90 \text{ км}$

Ответ: через 3 часа после встречи катер и лодка находились на расстоянии 90 км друг от друга.

22. Длина участка земли прямоугольной формы 25 м, а ширина 24 м. Десятую часть этого участка занимают постройки. На четвёртой его части посажены овощи, а на остальной площади − фруктовые деревья. Какая площадь занята фруктовыми деревьями?

Для решения данной задачи необходимо выполнить несколько последовательных шагов.

1. Вычисление общей площади участка
Участок имеет прямоугольную форму. Чтобы найти его общую площадь ($S_{общая}$), нужно умножить его длину ($a$) на ширину ($b$).
Согласно условию, длина участка $a = 25$ м, а ширина $b = 24$ м.
$S_{общая} = a \times b = 25 \text{ м} \times 24 \text{ м} = 600 \text{ м}^2$.

2. Вычисление площади, занятой постройками
Постройки занимают десятую часть ($\frac{1}{10}$) от общей площади участка.
$S_{построек} = S_{общая} \times \frac{1}{10} = 600 \text{ м}^2 \times \frac{1}{10} = 60 \text{ м}^2$.

3. Вычисление площади, на которой посажены овощи
Под овощи отведена четвертая часть ($\frac{1}{4}$) от общей площади участка.
$S_{овощей} = S_{общая} \times \frac{1}{4} = 600 \text{ м}^2 \times \frac{1}{4} = 150 \text{ м}^2$.

4. Вычисление площади, занятой фруктовыми деревьями
Фруктовые деревья занимают всю оставшуюся площадь. Чтобы ее найти, нужно из общей площади вычесть площадь, занятую постройками и овощами.
$S_{деревьев} = S_{общая} - S_{построек} - S_{овощей}$
$S_{деревьев} = 600 \text{ м}^2 - 60 \text{ м}^2 - 150 \text{ м}^2 = 540 \text{ м}^2 - 150 \text{ м}^2 = 390 \text{ м}^2$.

Ответ: площадь, занятая фруктовыми деревьями, составляет 390 м?.

23. Один грузовик может вывезти с поля 840 т зерна за 60 ч, а другой − тот же груз за 84 ч. Сколько на это потребуется времени при совместной работе обоих грузовиков?

Чтобы определить, сколько времени потребуется двум грузовикам для выполнения работы вместе, сначала найдем производительность каждого грузовика по отдельности. Производительность — это объем работы (в данном случае, количество вывезенного зерна), выполняемый за единицу времени (1 час).

1. Найдем производительность первого грузовика. Он может вывезти 840 тонн зерна за 60 часов.
Производительность первого грузовика ($P_1$) равна:
$P_1 = \frac{840 \text{ т}}{60 \text{ ч}} = 14 \text{ т/ч}$

2. Теперь найдем производительность второго грузовика. Он может вывезти те же 840 тонн зерна за 84 часа.
Производительность второго грузовика ($P_2$) равна:
$P_2 = \frac{840 \text{ т}}{84 \text{ ч}} = 10 \text{ т/ч}$

3. При совместной работе их производительности складываются. Найдем общую производительность ($P_{\text{общ}}$) двух грузовиков:
$P_{\text{общ}} = P_1 + P_2 = 14 \text{ т/ч} + 10 \text{ т/ч} = 24 \text{ т/ч}$
Это означает, что работая вместе, два грузовика вывозят 24 тонны зерна каждый час.

4. Зная общую производительность, мы можем рассчитать общее время ($t$), необходимое для вывоза 840 тонн зерна. Для этого нужно весь объем работы разделить на общую производительность:
$t = \frac{840 \text{ т}}{24 \text{ т/ч}} = 35 \text{ ч}$

Ответ: при совместной работе обоим грузовикам потребуется 35 часов.

24. Между Москвой и Санкт−Петербургом расположен город Тверь. От Москвы до Твери по железной дороге 167 км. Это на 317 км меньше, чем от Твери до Санкт−Петербурга.

Составь, используя эти данные, различные задачи и реши их.

На основе предоставленных данных можно составить и решить несколько задач.

Задача 1: Найти расстояние от Твери до Санкт-Петербурга

В условии сказано, что расстояние от Москвы до Твери, равное 167 км, на 317 км меньше, чем расстояние от Твери до Санкт-Петербурга. Это значит, что для нахождения расстояния от Твери до Санкт-Петербурга необходимо к известному расстоянию от Москвы до Твери прибавить разницу в 317 км.

Выполним сложение: $167 + 317 = 484$ (км).

Ответ: расстояние от Твери до Санкт-Петербурга составляет 484 км.

Задача 2: Найти общее расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга

Чтобы найти общее расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга по железной дороге, нужно сложить длину двух участков: от Москвы до Твери и от Твери до Санкт-Петербурга.

Расстояние от Москвы до Твери равно 167 км. Расстояние от Твери до Санкт-Петербурга мы нашли в предыдущей задаче, оно составляет 484 км.

Сложим эти два значения: $167 + 484 = 651$ (км).

Ответ: общее расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга составляет 651 км.

Задача 3: На сколько километров расстояние от Твери до Санкт-Петербурга больше, чем расстояние от Москвы до Твери?

Этот вопрос является обратным к одному из условий исходной задачи. В условии сказано, что расстояние от Москвы до Твери на 317 км меньше, чем от Твери до Санкт-Петербурга. Это логически означает, что расстояние от Твери до Санкт-Петербурга на 317 км больше, чем от Москвы до Твери.

Можно также выполнить проверку вычитанием, используя ранее вычисленные значения: $484 - 167 = 317$ (км).

Ответ: расстояние от Твери до Санкт-Петербурга на 317 км больше, чем расстояние от Москвы до Твери.

Задача 4: Во сколько раз путь от Твери до Санкт-Петербурга длиннее пути от Москвы до Твери?

Чтобы определить, во сколько раз один участок пути длиннее другого, необходимо разделить длину большего участка на длину меньшего.

Длина участка от Твери до Санкт-Петербурга — 484 км. Длина участка от Москвы до Твери — 167 км.

Выполним деление: $484 \div 167 \approx 2.898$. Округлив результат до десятых, получим 2,9.

Ответ: путь от Твери до Санкт-Петербурга примерно в 2,9 раза длиннее пути от Москвы до Твери.

25. Денис хотел записать на кассету мультфильмы, показ которых длится 46 мин, 48 мин, 26 мин, 54 мин, 32 мин. Поместятся ли все они на 180−минутной кассете? Какие мультфильмы выгоднее записать, чтобы оставалось меньше свободного места?

Поместятся ли все они на 180-минутной кассете?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо сложить продолжительность всех мультфильмов и сравнить полученную сумму с общей вместимостью кассеты.

Продолжительность мультфильмов: 46 мин, 48 мин, 26 мин, 54 мин, 32 мин.

Вместимость кассеты: 180 мин.

Найдем общую продолжительность всех мультфильмов:

$46 + 48 + 26 + 54 + 32 = 206$ мин.

Теперь сравним общую продолжительность мультфильмов с вместимостью кассеты:

$206$ мин $> 180$ мин.

Так как общая продолжительность мультфильмов больше, чем вместимость кассеты, все они не поместятся.

Ответ: Нет, все мультфильмы не поместятся на 180-минутную кассету, так как их общая длительность составляет 206 минут.

Какие мультфильмы выгоднее записать, чтобы оставалось меньше свободного места?

Чтобы на кассете осталось как можно меньше свободного места, нужно найти такую комбинацию мультфильмов, суммарная длительность которых будет максимально близка к 180 минутам, но не будет превышать это значение.

Из первого пункта мы знаем, что общая длительность всех мультфильмов равна 206 минутам, что на 26 минут больше вместимости кассеты ($206 - 180 = 26$).

В списке мультфильмов есть один с продолжительностью ровно 26 минут. Если исключить его из списка для записи, то суммарная длительность оставшихся мультфильмов будет точно равна вместимости кассеты.

Проверим эту гипотезу. Мультфильмы для записи: 46 мин, 48 мин, 54 мин, 32 мин.

Найдем их суммарную длительность:

$46 + 48 + 54 + 32 = 180$ мин.

Данная комбинация полностью заполняет кассету, оставляя 0 минут свободного места, что является наилучшим результатом.

Ответ: Выгоднее всего записать мультфильмы продолжительностью 46 мин, 48 мин, 54 мин и 32 мин. В этом случае на кассете не останется свободного места.